Clases de equivalencia de las asignaciones de $T^{2}$ a un espacio arbitrario $X$

Question

Yo estaba leyendo el periódico "Homotopy y de la cuantización en física de la materia condensada", por J. E Avron et al. ( http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.51.51). Allí se han clasificado las asignaciones de $T^{2}$ a un arbitrario espacio de $X$. Su argumento es el siguiente: "Piense dos mapas de $T^{2}$ a un arbitrario del espacio X. Si tomamos los dos bucles en $T^{2}$, obtenemos de cada mapa dos elementos de la $\pi_{1}(X)$ y los dos mapas no pueden ser homotópica a menos que el correspondiente par de elementos de a $\pi_{1}(X)$ son los mismos. Aunque sean de la misma, es evidente que existe un sobrante de mapa de $S^{2}$ a X". De esta manera, se puede clasificar los mapas de $T^{2}$ en X por dos elementos de la $\pi_{1}(X)$, y un elemento de $\pi_{2}(X)$.

Ahora entiendo cómo los dos elementos de la $\pi_{1}(X)$. Pero no entiendo cómo los elementos de la $\pi_{2}(X)$ aparecen en la imagen. En otras palabras, lo que se entiende por "restos mapa de $S^{2}$ en X" ?

Answer 1

Recordemos que homotopy grupos $\pi_n(X)$ se dan como homotopy clases de mapas de $S^n\to X$, y que cada mapa de $f : T^2\to X$ induce mapas de $f_* : \pi_n(T^2)\to\pi_n(X), [g]\mapsto [f\circ g]$.

Ahora $\pi_1(T^2) = \mathbb{Z}^2$, pero $\pi_2(T^2)=0$. Si dos mapas de $f,h: T^2\to X$ son ahora homotópica, $f_*$ $g_*$ debe enviar los dos generadores de $\pi_1(T^2)$ a los mismos elementos en $\pi_1(X)$. Pero, si $\pi_2(X)\neq 0$, esto no es cualquier condición en el mapa en el $\pi_2$, ya que ellos siempre mandan todo a $0$. Por lo tanto, se podría decir que hay un "sobrante" elemento $\pi_2(X)$, debido a que los mapas no determinar nada en $\pi_2(X)$, en particular, no le dan un interesante subgrupo.

Si $\pi_2(X)\neq\mathbb{Z}$, entonces no está claro por qué los autores hablan de "un sobrante de mapa de $S^2\to X$". Sospecho que la "arbitraria en el espacio" no es realmente arbitrario.