La representación habitual de los esquemas de grupo afín

Question

Quiero entender el regular la representación de un afín algebraica de grupo. Un afín algebraica de grupo como yo lo conozco, es un functor de la categoría de $k $ -álgebras a los grupos de los que es representable cuando se la considera como un functor de $k$ álgebras de conjuntos. El anillo de coordenadas $ \mathcal{O} (G) = Nat (G,\mathbb{A}^1)$ donde $ \mathbb{A} ^1 $ el functor de $k$-álgebras de conjuntos.

Está escrito en Milne libro sobre Afín Grupo de los Esquemas que los regulares de la representación puede ser definido de tal forma que para $g \in G(R)$, $f \in \mathcal{O} (G)$ y $x \in G(R)$,$(gf)_R (x) = f_R (xg)$.

No entiendo por qué esto nos da otro elemento en el anillo de coordenadas (es decir, un elemento en $Nat(G,\mathbb{A}^1)$ ). Por ejemplo, si elegimos otro álgebra $Z$ lo que lo es, a continuación, $(gf)_Z (z)$ donde$g\in G(R)$$z \in G(Z)$? ¿Por qué es este tipo de datos suficientes para dar una representación lineal?

Answer 1

La definición que Milne utiliza para una representación en $V$ es que es una transformación natural de functors $$G \to \operatorname{End}(V)$$ tal que los componentes $$G(R) \to \operatorname{End}_R(V \otimes_k R)$$ son homomorphisms. Si $V = k[G]$ es el anillo de coordenadas de un esquema, a continuación, $V \otimes_k R = k[G] \otimes_k R = R[G]$ es la de coordinar el anillo del esquema de $G_R$ obtenido por la restricción de $G$ $R$- álgebras.

Para usted esto significa que la función $gf$ se encuentran en el $R[G] = \operatorname{Nat}(G_R, \mathbb A^1_R)$, por lo que, en particular, usted sólo tiene que definir su valor en los elementos de $x \in G(A)$ donde $A$ $R$- álgebra.

Para ello tenga en cuenta que al ser un $R$-álgebra significa que hay un anillo homomorphism $R \to A$. A continuación, $G$ ser un functor tenemos un homomorphism $G(R) \to G(A)$, por lo que podemos empujar $g$ a $G(A)$ a fin de multiplicar $x$. A continuación, se aplican $f_A$ al resultado.