Lebesgue mensurable subconjunto de $\mathbb{R}$ con dado densidad métrica en cero

Question

Que $0 \leq \alpha < \beta \leq 1$. Estoy buscando un ejemplo de un Lebesgue mensurable subconjunto $E$ $\mathbb{R}$ tal que

$$\liminf_{\delta \rightarrow 0} \frac{m(E \cap (-\delta,\delta))}{2\delta} = \alpha$$

pero

$$\limsup_{\delta \rightarrow 0} \frac{m(E \cap (-\delta,\delta))}{2\delta} = \beta$$

donde $m$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

¿Alguien puede dar un ejemplo? Muchas gracias, Malik

Answer 1

Intentar la duplicación a través de cero de $$\bigcup_{n \geq 1} \left[\frac{1}{(2n)!}-\alpha\left(\frac{1}{(2n)!} - \frac{1}{(2n+1)!}\right),\frac{1}{(2n)!}\right] \cup \left[\frac{1}{(2n+1)!}-\beta\left(\frac{1}{(2n+1)!} - \frac{1}{(2n+2)!}\right),\frac{1}{(2n+1)!}\right].$ $

Answer 2

Dividir el intervalo de $(0,1]$ de radios en intervalos que disminuir "lo suficientemente rápido". En algunos de los intervalos de ponen algún conjunto de densidad $\alpha$ y en otra poner algún conjunto de densidad $\beta$. Puede introducir el resto de los detalles tú mismo.

Answer 3

Creo que las siguientes obras de construcción: Dado $\alpha \leq \beta$, definir secuencias de $(a_n)_n$ $(b_n)_n$ como sigue: $$a_0 = 0;$$ $$b_0 = 1;$$ $$a_n = (\beta/\alpha)b_{n-1};$$ $$b_n = {1-\alpha \over 1-\beta}a_n.$$ Now define $E_n = [a_n, b_n)$ and $E = \bigcup_{n=0}^\infty E_n$.

Las secuencias fueron elegidos de modo que $\bigcup_{i=0}^n E_i$ contiene (aproximadamente) $\beta$$[0, b_n)$, pero sólo$\alpha$$[0, a_{n+1})$. De hecho siempre contiene algo más que esto, porque contiene todos los de $[0, 1)$ lugar de algún loco patrón fractal dentro de ella, pero cualquier finito segmento inicial no importa el problema. Como $R \rightarrow \infty$, la densidad de $E \cap [0, R)$ $[0, R)$ oscila (linealmente!) entre los dos valores, dando el comportamiento que usted solicitó.

Pero no tome esto como evangelio. Ha sido un tiempo desde que hice cualquier teoría de la medida y yo no era mucho de bueno en él, incluso en la época.