Algunos dicen que podemos conectar dos puntos con una curva continua y una pequeña vecindad contraíble del camino junto con los gráficos de los puntos pueden ser considerados como el gráfico. Pero no sé cómo verificar esta afirmación.
Respuesta
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Un colector liso conectado $M$ ha " $n$ -grupo de automorfismo transitivo" - esto significa que, para cualquier conjunto de $n$ puntos distintos $x_i$ y cualquier conjunto de $n$ puntos distintos $y_i$ hay un difeomorfismo $ \varphi $ con $ \varphi (x_i) = y_i$ .
Si $x_1$ y $x_2$ son tus dos puntos, escoge una pequeña tabla alrededor $x_1$ ; elige $y_1 = x_1$ y $y_2$ para estar en algún punto de la tabla alrededor de $x_1$ . Si $(U, \psi )$ es el gráfico alrededor de $x_1$ entonces su tabla deseada es $( \varphi ^{-1}(U), \psi \circ\varphi )$ .
Un enfoque alternativo encuentra un camino incrustado suave desde $x_1$ a $x_2$ y toma un vecindario tubular. Para ser precisos: encontrar un camino tan incrustado y extenderlo ligeramente a un sendero $(- \varepsilon , 1+ \varepsilon ) \to M$ con $ \gamma (0) = x_1$ , $ \gamma (1) = x_2$ . El teorema de vecindad tubular dice que hay una vecindad abierta de este camino difeomórfico al espacio total de su paquete normal; el único paquete vectorial en un intervalo es trivial, así que el teorema de vecindad tubular dice que una vecindad de este camino es difeomórfica a $(- \varepsilon , 1+ \varepsilon ) \times \Bbb R^{n-1}$ dándonos la tabla deseada.
