La diferenciación $y=x^{2}$

Question

Estoy leyendo en un libro acerca de diferenciar, pero estoy confundido con uno de los pasos que da. Empezamos con:

$$ \begin{align} y &= x^{2} \\ y + \mathrm{d}y &= (x + \mathrm{d}x)^2 \\ y + \mathrm{d}y &= x^2 + x\mathrm{d}x + x\mathrm{d}x + (\mathrm{d}x^2) \end{align} $$

Ahora el autor simplifica a:

$$y + dy = x^2 + 2x\mathrm{d}x + (\mathrm{d}x^2)$$

No me gusta cómo el medio plazo se simplifica a $2x\mathrm{d}x$ en lugar de $2(x\mathrm{d}x)$, ya que siento que es más intuitivo sobre lo que está pasando. Como en, $2$ del plazo $x\mathrm{d}x$, en lugar de $2x\mathrm{d}x$. Pero me temo escribiendo como $2(x\mathrm{d}x)$ puede resultar en una incorrecta de la propiedad distributiva.

A continuación, se omite la $(dx^2)$:

$$y + \mathrm{d}y = x^2 + 2x \mathrm{d}x$$

Restar el original $y = x^2$:

$$\mathrm{d}y = 2x \mathrm{d}x$$

Ahora aquí es donde me confundo:

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x$$

¿Cómo puede él solo hay que dividir ambos lados por $\mathrm{d}x$!? Si el término original se $2$$x\mathrm{d}x$, no tiene que ser escrito como $2x * 2\mathrm{d}x$, y por lo tanto dividir ambos lados por $2\mathrm{d}x$ lugar?

Creo que la raíz de mi confusión es la manera correcta de simplificar: $$x\mathrm{d}x + x\mathrm{d}x$$

Confío en que él es justo, pero estoy en busca de una explicación de por qué su simplificación puede trabajar, y por qué $2(x\mathrm{d}x)$ sería incorrecta!

Gracias!

Answer 1

Tu pregunta es un buen ejemplo de lo que sucede cuando las personas trabajan con infinitesimals fuera de la no-estándar de análisis: una gran confusión. Mira, la noción de $dx$ ser un muy pequeño $x$ (menor que cualquier número real, y sin embargo distinto de cero) no es precisa, y no es posible definir correctamente en el análisis estándar. Hay algunas personas que tratan de definir $dx$ $\Delta x$ al $\Delta x$ va a cero, pero esto es igual a cero por la definición de límite, así que esto es sólo basura.

Muchas personas se preguntan: "¿por qué debería importarnos si es formal o no?", y bueno, es porque cuando se trabaja con algo formal, la posibilidad de confusión es mucho menor que con algo que no está definido aún.

En el marco formal, dejamos $f: \Bbb R \to \Bbb R$ ser dado por $f(x)=x^2$, entonces por la definición de la derivada, tenemos:

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}$$

Ahora, simplemente hemos de reorganizar la última expresión, consiguiendo:

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(2a+h)h}{h}=\lim_{h\to0}2a+h=2a$$

Por lo que este límite existe para cada $a \in \Bbb R$ e lo $f$ es derivable con derivada $f'(x)=2x$ en cada una de las $x \in \Bbb R$.

Así que mi sugerencia es que usted abandonar este "intuitivo" noción de infinitesimals y mover a las normas formales de análisis. Usted puede escoger Spivak de Cálculo del libro: es un libro muy bueno, incluso para el auto-estudio, y lo voy a mostrar cómo lidiar con todas estas cosas en una formal y de manera sencilla.

Answer 2

La multiplicación es asociativa, como es la adición:

Que es, además, sabemos que $a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c$.

(En otras palabras, los paréntesis pueden omitirse sin que se produzca ninguna ambigüedad).

Lo mismo es cierto con la multiplicación:

$$2\cdot (a\cdot b) = (2\cdot a)\cdot b = 2\cdot a \cdot b$$

y con la multiplicación, que a menudo simplemente "unir" los términos, omitiendo "$\cdot$" o "$\times$" para obtener el $2 \cdot a \cdot b = 2ab$.

Ahora en su pregunta, usted está preguntando acerca de la simplificación: $$x\mbox{d}x + x\mbox{d}x\tag{1}$$

Aquí, se puede utilizar la distribución de la propiedad de la multiplicación sobre la suma:

$$ab + ab = (a + a)b = (2a)b = 2ab$$

Así, la aplicación de esta a $(1)$: $$x\mbox{d}x + x\mbox{d}x = (x + x)\mbox{d}x = (2x)\mbox{d}x = 2x\mbox{d}x\tag{2}$$

Answer 3

$$2(ab) \neq 2a\cdot 2b = 4ab$$

$$2(ab) = 2a(b) = a(2b)$$

Ya sea que usted tome la 2 con la $x$ o con las $dx$.

[Lo anterior se supone que para ser más reales]

Answer 4

"Si el término original se $2$$x \, dx$, no tiene que ser escrito como $2x\cdot 2 \,dx$, y por lo tanto dividir ambos lados por $2 \, dx$ lugar?"

No dejes que el infinitesimal cosas que te echan de un bucle. Sé que las matemáticas puras chicos que van a rasgarse las vestiduras cuando digo esto, pero en la etapa del juego simplemente puede tratar dx como un número. Específicamente, donde ha $2(xdx)$, sustituir 1 por $x$$0.1$$dx$. Entonces usted tiene $2(1*0.1)$. El trabajo que. No da esto $2\times1\times2\times0.1=0.4$? Es probable que vea que no es así. Se le da $2\times 1\times 0.1=0.2$. De la misma manera, $2(xdx)=2\times x \times dx = 2xdx$.

Mi respuesta es básicamente el mismo que amWhy la anterior respuesta, pero me pareció un ejemplo concreto sería útil.