Por qué no es una función

Question

Esta pregunta es muy básica pero en este momento no pude contestarlo.

Sabemos que $y=\pm\sqrt{x}$ no es una función porque un valor de $x$ corresponde a más de un valor de $y$. Otra vez $y=x^2$ es una función. Pero podemos conseguir la primera ecuación de la segunda, por lo que el primero de ellos debe ser una función, que contradicción.

Alguien podría por favor decirme lo que falto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una función es simplemente una caja en la que se conecta un número, y el cuadro escupe un número.

$$f: x \mapsto x^2$$ es una función. Si yo me alimento de ello el número de $4$, devolverá $16$ y sólo $16$. La cosa con esta función es que no es inyectiva, es decir, si que se alimentan $-4$, también regresará $16$. Pero eso no significa que no sea una función: es returnin uno y sólo un número para cualquier número que se alimentan en ella.

El hecho de que no es inyectiva, sin embargo, significa que no es invertible.

Por otro lado, $$f:x\mapsto \pm \sqrt{x}$$

es no es una función porque, si yo me alimento de lo $16$, devolverá $\pm 4$, por lo que volverá $+4$ e $-4$.

$$f_+: x\mapsto \sqrt{x}$$ es una función, y así es $$f_{-}:x\mapsto-\sqrt{x},$$

tuerca de toda la función satisface las condiciones para ser una función.

Answer 2

Para ampliar @5xum respuesta un poco y también para hacer una nota:

$ y = x^2 $ no es una función, es una ecuación.

$x^2$ no es también una función, es una "expresión". Una función toma alguna entrada y devuelve un determinista de salida ( por ejemplo. única salida para una entrada dada ). Un ejemplo es la función que lleva a $x$ y vuelve $x^2$, la plaza de el valor que se puso en.

No se desanime por su confusión acerca de las funciones. En varios años de la enseñanza de cálculo a los nuevos estudiantes de pregrado, con mucho, la parte que confunde la mayoría de ellos fue la comprensión de lo que una función. En muchos de los casos que había visto cálculo antes y conserva muy poco de él, además de algunas manipulaciones simbólicas, pero no tenía ninguna comprensión de lo que esas manipulaciones estaban haciendo, porque no entendía el concepto de función. Sinceramente, creo que realmente la comprensión de lo que una función es la principal diferencia entre la gente que "get" de las matemáticas y de aquellos que juran que nunca van a llegar. Así que en eso y la buena suerte.

Oh, una cosa más. Definitivamente va a ver a la gente, incluyendo los matemáticos llaman a $ y = x^2 $ una función, pero este es un "abuso del lenguaje", y si se presiona sobre ella, creo que estarán de acuerdo. Por lo tanto, si su maestra le dijo: "$ y = x^2 $ es una función, sino $ y = \pm \sqrt{x}$ no es " que no es ni sorprendente ni correcto.

Answer 3

$y=x^2$ es una ecuación para (supongo) variables reales $x,y$. Se puede decir $y$ es una función de $x$. Esto es debido a que para cada $x\in\mathbb{R}$, tenemos exactamente una $y$ que satisface la ecuación.

La ecuación es equivalente a $x=\pm\sqrt y$, en el sentido de que $\forall x\in\mathbb{R}, y\in\mathbb{R}_{\ge 0},\quad y=x^2\quad\text{if and only if}\quad x=\pm\sqrt y$.

Así que, dado que la ecuación de $x=\pm\sqrt y$, todavía se puede decir que el $y$ es una función de $x$. Sin embargo, $x$ no es una función de $y$, debido a que hay un $y=4\in\mathbb{R}$ de tal manera que tenemos dos posibles soluciones para $x$, $\{2,-2\}$, que satisfagan la ecuación. Para ser precisos, en el principio, usted necesita para determinar qué valores de $y$ su función debe ser definida, en este caso, debe ser $\mathbb{R}_{\ge 0}$ (no-negativos de los números reales), pero aun así, no es la $\pm$, lo que hace que no sea posible.

Así que si usted no quiere ser confundido, no se dice "<ecuación> es una función" ni "$y$ es una función de $x$ " ($y$$x$ son variables), pero explícitamente construir la función de una asignación como $x\mapsto x^2$.