¿Por qué sería esto una $T_1$ -¿espacio?

Question

Dejemos que $L$ sea un lenguaje de primer orden, y sea $F$ sea el conjunto de las frases de $L$ . Sea $\simeq$ denotan la equivalencia semántica entre oraciones (por supuesto, según el teorema de la completitud, esto es lo mismo que la equivalencia sintáctica, pero en el contexto en el que estoy trabajando, se utiliza la semántica en lugar de la sintaxis); y dejemos que $T := F/\simeq$ .

Para $H \subset F$ , dejemos que $H^*$ denotan la unión de todas las clases de equivalencia que se cruzan $H$ (Dejando $\pi : F\to T$ denota el mapeo canónico, tenemos $H^* =\bigcup\pi[H]$ ). Establezca $\Phi^* := \{\Phi\}^*$ para $\Phi\in F$ .

Para $H\subset T$ , dejemos que $\overline{H} := \displaystyle\bigcap_{\Phi \in F, H\subset \{\Psi^* \mid \Phi\models \Psi\}} \{\Psi^* \mid \Phi \models \Psi\}$ (donde $\models$ es la relación de implicación semántica)

Me piden en un ejercicio que demuestre que este operador de cierre hace $T$ en un espacio topológico, que es $T_1$ .

Pero esto parece falso, como en un espacio topológico, $\overline{\emptyset} = \emptyset$ mientras que aquí, si dejamos que $p := (\exists x, x=x)^*$ , entonces para todos los $\Phi\in F$ , $\Phi\models \exists x, x=x$ y así $p\in \overline{\emptyset}$ .

Además, si decidimos añadir artificialmente $\emptyset$ a este conjunto, convirtiéndolo en una familia de conjuntos cerrados, el espacio resultante no puede ser $T_1$ porque para cualquier $q\in T$ , $p\in \overline{\{q\}}$ .

¿Qué opina de esto? ¿Se ha olvidado el ejercicio de mencionar algo, o estoy equivocado por alguna razón?

Answer 1

Tiene razón en todo: Esta definición del operador de cierre no define un espacio topológico, pero si añades $\overline{\emptyset} = \emptyset$ se obtiene un espacio topológico (y casi seguro que éste era el espacio previsto), pero no a $T_1$ espacio.

Para dar un poco de contexto a lo que podría parecer una definición extraña, el conjunto $F$ de frases viene con un pedido previo $\models$ . Dos frases $\varphi$ y $\psi$ son lógicamente equivalentes si y sólo si $\varphi \models \psi$ y $\psi\models \varphi$ . Así, $T$ es el poset asociado al conjunto preordenado $F$ .

Ahora la definición especifica que los conjuntos cerrados en la topología sobre $T$ son exactamente las que están cerradas hacia arriba en el orden parcial inducido sobre $T$ . Este tipo de topología tiene un nombre, un Topología Alexandrov (normalmente se toman los conjuntos cerrados hacia arriba como Abrir en la topología de Alexandrov, así que realmente estamos viendo la topología de Alexandrov en $T^\text{op}$ el orden parcial dual).

La topología de Alexandrov en un orden parcial nunca es $T_1$ a menos que el orden parcial sea discreto (que $T$ claramente no lo es). Sin embargo, siempre es $T_0$ (también se puede definir la topología Alexandrov en cualquier conjunto preordenado, y será $T_0$ si el preorden es un orden parcial).

Tal vez quien escribió el ejercicio confundió $T_1$ para $T_0$ ?

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Añadido: He mirado el libro de Grätzer. La situación es muy extraña: es un ejercicio estándar de lógica mostrar que dado un lenguaje de primer orden $L$ se puede asociar un espacio topológico que es $T_1$ La compacidad de estos espacios es equivalente al teorema de la compacidad. Pero Grätzer describe el espacio equivocado.

Este es el espacio real que debes utilizar cuando intentes resolver los ejercicios 85 y 86:

Dejemos que $S$ sea el conjunto de todos los completos consistentes $L$ -teorías. Para cada frase $\varphi$ , dejemos que $U_\varphi = \{T\in S\mid \varphi\in T\}$ . Entonces una base para la topología en $S$ viene dada por la familia de conjuntos (clopen) $\{U_\varphi\mid \varphi\text{ a sentence}\}$ .