El siguiente es bien conocida. Dado un simétrica diferencial operador, como $\partial_x^2$, definido en suave funciones de soporte compacto en $\mathbb{R}$, $C_0^\infty(\mathbb{R})$, uno puede contar el número de independientes $L^2$-normalizable soluciones de $\partial_x\pm i$ y el uso de von Neumann índice teorema de clasificar las posibles auto-adjunto extensiones de este operador en $L^2(\mathbb{R})$. Esto se puede generalizar a más complicado operadores diferenciales, a $\mathbb{R}^n$ así delimitada abrir subconjuntos de los mismos.
Por otro lado, supongamos que tengo un colector $M$ que está cubierto por un conjunto de abrir los gráficos $U_i$ con los operadores diferenciales $D_i$ definido en las correspondientes coordenadas locales. Es fácil comprobar si el $D_i$ son restricciones de un definidos a nivel global diferencial operador $D$$M$: la transición de las funciones de las intersecciones de los gráficos de $U_i\cap U_j$ debe transformar $D_i$ a $D_j$ y viceversa. Supongamos que es el caso y que estoy interesado en la auto-adjunto extensiones de $D$ $L^2(M)$(suponiendo que una integración medida está dada y que $D$ es simétrica con respecto a ella). Ahora, la pregunta:
Hay forma de clasificar la auto-adjunto extensiones de $D$ $L^2(M)$ en términos de su definición en coordenadas locales, las acciones de $D_i$$C_0^\infty(U_i)$.
Un ejemplo sencillo podría ser la portada de la $S^1$ por la superposición de dos gráficos. Sé que un auto-adjunto de extensión de $\partial_x^2$ $[0,1]$ periódicos de las condiciones de contorno da naturalmente definió la auto-adjunto Laplaciano en $S^1$. A continuación, $(0,1)$ se interpreta como un gráfico en $S^1$ que excluye a un punto. Sin embargo, no sé cómo definir la auto-adjunto Laplaciano en $S^1$ si se da en la superposición de dos gráficos.
