Objetos Co son mejores

Question

Esta es una pregunta vaga, pero tal vez podamos hablar de ello.

Hay dos tipos de objetos matemáticos (que no excluye a la otra):

A) No es una buena descripción de morfismos definido en este objeto.
B) No es una buena descripción de morfismos definido en este objeto.

Por lo tanto a) significa que el covariante hom-functor se entiende, y B) significa que el contravariante hom-functor se entiende. Esto se aplica en especial a objetos universales. Dentro de la categoría de la teoría, los conceptos son simplemente doble el uno al otro y así la "teoría" de Una) es esencialmente el mismo que el de la teoría de B). Pero la mayoría de las categorías estudiadas en matemáticas no vienen junto con su doble, de modo que esta contundente argumento no es muy bueno. De hecho, tengo la sensación de que en 'diario de las matemáticas',) parece mucho más a menudo de lo que B). Y que es más fácil trabajar con ellos. Por supuesto, podríamos discutir sobre eso. Por ejemplo, tengo una mejor sensación con colimits que con límites. [tal vez voy a añadir ejemplos aquí]

Si usted tiene la misma sensación: Podemos dar las razones para esto?

Creo que el principio básico de pegar, que aparece en muchos geométricas categorías, siempre pertenece a Una). Esto podría ser una razón. ¿Qué te parece?

Answer 1

Estimado Martin,

Como Harry señala en sus comentarios, en ciertos parámetros (por ejemplo, módulos de espacios) de un objeto se caracteriza por los mapas. En otros (por ejemplo, la libre abelian grupo en un generador), la caracterización es por los mapas.

Ciertamente, en álgebra, inyectiva objetos (que se caracteriza por mapas) son típicamente considerado como más misterioso y de caja negra como la de projectives (donde uno normalmente puede pensar libre de módulos, los cuales son muy concreto). Conozco a varias situaciones en las que alguien hizo un progreso real mediante un uso juicioso de la inyectiva objetos, y estoy seguro de que parte de la obstrucción a los investigadores anteriores, es que injectives no están familiarizados; en resumen, no es, probablemente, el arbitraje para ser adquirida por algunos (a mí, al menos) por aprender más acerca de injectives en diversos contextos, y tratando de utilizar como fluido como uno de los usos libres de objetos.

En la topología y la geometría, tal vez hay más fluidez entre las dos caracterizaciones. E. g. los mapas en el círculo de hacer el Eilenberg-Maclane espacio de $K({\mathbb Z},1)$, mientras que mapas fuera de definir el grupo fundamental.

Usted está en lo correcto que quotienting por una relación de equivalencia (encolado) está relacionada con la mapas. Tal vez esta es la razón por la construcción de módulos de espacios (por ejemplo, Picard esquemas) puede ser muy involucrados; se caracterizan por los mapas, pero a menudo son construido por un procedimiento de encolado, que crea el conflicto; por lo tanto uno se encuentra trabajando localmente, y es dirigido en la gavilla/pila de la teoría de problemas.

Sin duda, la tensión entre las dos caracterizaciones ha sido una fuente fértil para bueno en matemáticas.