Generalizado las leyes de los cosenos y senos

Question

Me gustaria saber las "leyes de senos y cosenos" en los dos casos siguientes y cómo derivarlos. (o cualquiera relacionado con fuentes)

(i) para los triángulos geodésicos en una esfera de radio $R>0$. (curvatura tan constante $1/R^2$)

(ii) en el plano medio superior, decir $\{(x,y):y>0\}$ % métricas $\frac{R^2}{y^2}\pmatrix{ 1& 0\\\ 0& 1}.$(que tiene curvatura $-1/R^2$)

Muchas gracias.

Answer 1

Una buena derivación de estas fórmulas en el caso de $R = 1$ es Thurston las Tres Dimensiones de la Geometría y la Topología, Volumen 1., p 74--81.

Pensamos en $S^2$, ya que la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^3.$ Deje $u, v, w$ ser los puntos sobre la esfera. Dibujamos un triángulo esférico entre ellos en la unidad de la esfera. Deje $\theta_{u v}, \theta_{w u}, \theta_{v w}$, respectivamente, las longitudes de los lados $u v, w u, v w.$ Deje $\phi_u, \phi_v, \phi_w$ ser los ángulos en el triángulo en los respectivos vértices.

La primera esférica de la ley de los cosenos (al $R = 1$) es $$\cos \phi_w = \frac{\cos \theta_{u v} - \cos \theta_{w u} \cos \theta_{v w}}{\sin \theta_{v w} \sin \theta_{w u}};$$ el segundo es semejante a éste: $$\cos \theta_{u v} = \frac{\cos \phi_v \cos \phi_u + \cos \phi_w}{\sin \phi_v \sin \phi_u}.$$ Y la forma esférica de la ley de los senos es $$\frac{\sin \theta_{u v}}{\sin \phi_w} = \frac{\sin \theta_{w u}}{\sin \phi_v} = \frac{\sin \theta_{v w}}{\sin \phi_u}.$$

Así, si en lugar de considerar una esfera de radio $R,$ estas fórmulas se convertiría $$\cos \phi_w = \frac{\cos (\theta_{u v}/R) - \cos (\theta_{u w}/R) \cos (\theta_{v w}/R)}{\sin (\theta_{u w}/R) \sin (\theta_{v w}/R)},$$ $$\cos (\theta_{u v}/R) = \frac{\cos \phi_v \cos \phi_u + \cos \phi_w}{\sin \phi_v \sin \phi_u},$$ y $$\frac{\sin(\theta_{u v}/R)}{\sin\phi_w}=\frac{\sin(\theta_{w u}/R)}{\sin\phi_v}=\frac{\sin(\theta_{v w}/R)}{\sin\phi_u}.$$

Podemos ver esto desde el hecho de que las dilataciones sobre el origen de conservar las proporciones de las longitudes y los ángulos.

Para realizar dicha intuición a hiperbólico leyes de cosenos y senos, en lugar debemos decir que las similitudes conservar las proporciones de interior de los productos. Es decir, una similitud $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ satisface, es el típico producto interior en el espacio Euclidiano, $$\frac{\langle T a, T b \rangle}{\langle T c, T d \rangle} = \frac{\langle a, b \rangle}{\langle c,d \rangle}.$$ De hecho, la ecuación anterior se cumple para cualquier forma bilineal $\langle\, ,\,\rangle.$, En particular, para la métrica de Lorentz en el espacio de tres, que es $$\left\langle \begin{pmatrix} v_0\\ v_1\\ v_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} w_0\\ w_1\\ w_2 \end{pmatrix}\right\rangle = -v_0 w_0 + v_1 w_1 + v_2 w_2.$$ Esto también define un indefinida forma cuadrática $Q(v) = \langle v, v \rangle.$

Ahora, la costumbre plano hiperbólico está dada por la restricción de esta métrica de Lorentz a la "esfera de radio $i$," es decir, $\mathcal{H}^2 = \{v\,|\,Q(v) = -1\}.$ Así que supongamos que tenemos tres puntos de $u,v,w$ en esta "pseudosphere," y como antes, que nos dibuja el triángulo hiperbólico con estos puntos como vértices, y llamamos a las longitudes de los lados $\theta_{u v},\theta_{w u},\theta_{v w},$ y los ángulos en los respectivos vértices $\phi_u, \phi_v, \phi_w.$ A continuación, el hiperbólico leyes de cosenos y senos son $$\cosh \theta_{u v} = \cosh \theta_{w u} \cosh \theta_{v w} - \sinh \theta_{w u} \sinh \theta_{v w} \cos \phi_w,$$ $$\cos \phi_w = - \cos \phi_u \cos \phi_v + \sin \phi_u \sin \phi_v \cosh \theta_{u v},$$ y $$\frac{\sinh \theta_{u v}}{\sin \phi_w}=\frac{\sinh \theta_{w u}}{\sin \phi_v}=\frac{\sinh \theta_{v w}}{\sin \phi_w}.$$

De nuevo, una dilatación sobre el origen y no voy a cambiar las proporciones de la forma de Lorentz. Esto implica que las dilataciones no cambiar hiperbólico ángulos, ya que dichos ángulos se definen en términos de tales proporciones. Por lo tanto, si en lugar de considerar la pseudosphere de radio $iR,$ tendríamos las leyes $$\cosh (\theta_{u v}/R) = \cosh (\theta_{w u}/R) \cosh (\theta_{v w}/R) - \sinh (\theta_{w u}/R) \sinh (\theta_{v w}/R) \cos \phi_w,$$ $$\cos \phi_w = - \cos \phi_u \cos \phi_v + \sin \phi_u \sin \phi_v \cosh (\theta_{u v}/R),$$ y $$\frac{\sinh (\theta_{u v}/R)}{\sin \phi_w}=\frac{\sinh (\theta_{w u}/R)}{\sin \phi_v}=\frac{\sinh (\theta_{v w}/R)}{\sin \phi_w}.$$