En general, sí, para un volumen determinado, una esfera tiene la menor superficie y, por tanto, la menor pérdida de calor hacia el entorno.
Pero tenemos la complicación de que la parte superior del recipiente debe estar abierta y sin aislamiento.
Para una temperatura fija del líquido y del aire ambiente, un modelo sencillo diría que los tres tipos de superficies de un cilindro tienen cada uno un flujo de calor fijo (potencia por unidad de superficie). Digamos que son $q_\mathrm{top}$ , $q_\mathrm{bottom}$ y $q_\mathrm{side}$ . La energía total por unidad de tiempo que se pierde en el medio ambiente es $$ Q = \pi r^2 (q_\mathrm{top} + q_\mathrm{bottom}) + 2\pi rh q_\mathrm{side} $$ para un cilindro de radio $r$ y la altura $h$ . Si fijamos el volumen $V$ como restricción, entonces $\pi r^2h = V$ , por lo que tenemos $$ Q = \pi r^2 (q_\mathrm{top} + q_\mathrm{bottom}) + \frac{2V}{r} q_\mathrm{side}. $$
El contenedor óptimo tiene como radio el $r$ que minimiza $Q$ . Esto ocurre para $$ 0 = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}r} = 2\pi r (q_\mathrm{top} + q_\mathrm{bottom}) - \frac{2V}{r^2} q_\mathrm{side}, $$ o $$ r = \left(\frac{Vq_\mathrm{side}}{\pi(q_\mathrm{top}+q_\mathrm{bottom})}\right)^{1/3}. $$
Cualitativamente, podemos observar algunas cosas. Por ejemplo, el radio ideal crece proporcionalmente a la raíz cúbica del volumen deseado, lo cual no es inesperado. De hecho, para un $q$ el contenedor ideal simplemente escala con $V$ - su forma no cambia.
Además, el contenedor ideal en este modelo no es ni demasiado ancho ni demasiado estrecho. Demasiado ancho, y el $\pi r^2 (q_\mathrm{top} + q_\mathrm{bottom})$ término significa que todo el calor se pierde por la parte superior (y la inferior), mientras que demasiado estrecho y el $(2V/r) q_\mathrm{side}$ término se hace más grande de lo necesario.
Sin embargo, no tengo un número real, porque no conozco los valores del $q$ 's. Es de suponer que se podrían buscar las propiedades de la cerámica en cuestión para $q_\mathrm{bottom}$ y $q_\mathrm{side}$ . Sin embargo, incluso en ese caso, trato estos términos por separado porque podrían depender de la forma del recipiente: los lados se enfriarán más eficazmente por convección que el fondo, a menos que el cilindro sea muy estrecho. Además, hay que modelar la transferencia de calor a través de la parte superior, lo que constituye un difícil problema de dinámica de fluidos.
