Como encuentro el radio de convergencia de una serie de energía como esta

Question

Da: $ a_n =\begin{cases} \frac{1}{3^n} & \text{if %#%#% is prime,}\\ \frac{1}{4^n} & \text{if %#%#% is not prime}. \end{casos} $$ la prueba de relación funcionará bien aquí, pero la forma se define la serie estoy confundido con respecto a él. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Consideremos la serie de energía $$p(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n,$$ where $$a_n =\begin{cases} \frac{1}{3^n} & \text{if %#%#% is prime,}\\ \frac{1}{4^n} & \text{if %#%#% is not prime}. \end{casos} $$ entonces $n$ mentira entre $n$$p(x)$$$\min\{\sum_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{x}{3}\Big|^n,\sum_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{x}{4}\Big|^n\}$$ and $% $ $\max\{\sum_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{x}{3}\Big|^n,\sum_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{x}{4}\Big|^n\}$tenga en cuenta también que $ with in the common radius of convergence of both $$\sum_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{x}{3}\Big|^n,\,\,\,\,\,\sum_{n=1}^{\infty}\Big|\dfrac{x}{4}\Big|^n.$\min\{3,4\}=3.$$\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\dfrac{x}{a}\Big)^n=\dfrac{a}{a-x}\iff|x|<|a|$r=3.$