Único punto crítico implica mínimo máximo global global

Question

Tengo dos preguntas aquí, pero ambos están muy relacionados, así que he decidido poner a ambos en esta pregunta.

De la Wikipedia he encontrado el siguiente ejemplo de una función que tiene un único punto crítico que es un mínimo local, sin embargo, no es un mínimo global:

$f(x,y) = x^2 + y^2(1-x)^3$

De hecho, el único punto crítico de $f$ $(0,0)$ que es un mínimo local por la segunda derivada de la prueba, sino $(0,0)$ no es un mínimo global debido a $f(4,1) = -11$. ¿Por qué sucede esto? Estoy teniendo algunos problemas para entender intuitivamente por qué esto es cierto. Sé que $f$ tiene un mínimo cuando se limita a un conjunto compacto. A continuación, $(0,0)$ es un mínimo global en cualquier cerrada la bola alrededor de $(0,0)$, y por lo tanto $(0,0)$ es un máximo global?? Esto no es cierto, porque la $f$ es un contraejemplo, pero no acabo de entender por qué.

En algunos casos se tiene un mínimo global en el único punto crítico. Por ejemplo, vamos a

$f(x,y) = (-x+y)^2 + (x-1)^2 + (x+y-1)^2$

A continuación, $f$ tiene un único punto crítico en $(\frac{2}{3}, \frac{1}{6})$. El punto crítico resulta ser un mínimo global (de acuerdo a la gráfica y wolframalpha). ¿Cómo puedo probar que el punto es un mínimo global? ¿Y cómo hace uno, en general, decidir que una función tiene un mínimo global/máximo en un punto crítico cuando la función está definida en todos los de $\mathbb{R}^2$, sobre todo cuando hay un solo punto crítico?

Answer 1

Su imagen intuitiva es, probablemente, de la siguiente manera: Imagen de llenado de agua en el hueco en el origen. A medida que el agua se eleva, ya que hay puntos inferior a la de origen, se espera que el agua empiece a derramar en las bajas esferas en algún momento. Y ese punto debe ser un punto crítico! La manera de resolver la paradoja es tener en cuenta que, antes de que se desborden se produce, el lago de hecho se extienden fuera hasta el infinito. Mira la sección transversal de la función de la gráfica para fijo $y$ $y$ comienza a $0$ y luego crece. En otras palabras, el estudio de la función de $x\mapsto x^2+y^2(1-x)^3$ $y^2$ crece. Usted verá un mínimo local, comenzando en el origen y el acercamiento a $x=1$ desde abajo, y un máximo local, a partir de infinito y se aproxima $x=1$ desde arriba. Como $y^2$ crece, el valor en el mínimo local crece, mientras que el valor en el local de la máxima disminuye. Así que el mencionado lago se extenderá a $(1,\pm\infty)$ y, a continuación, empezar a derramar sobre el borde (el máximo local) en el infinito antes de que se derrama en cualquier otro lugar.

Una imagen es tremendamente útil. Si usted tiene acceso a arce, intente esto:

plots[animate](plot,
  [x^2+y^2*(1-x)^3, x = 0 .. 2, view = [0 .. 2, -1 .. 2]], y = 0 .. 10);

O usted puede tomar un vistazo a esta estática parcela de $f(x,y)$. Es fácil ver cómo $(0,0)$ es un local, pero no un mundial, máximo:

Answer 2

Sé que f tiene un mínimo cuando se limita a un conjunto compacto. Entonces (0,0) es un mínimo global en cualquier cerrada la bola alrededor de (0,0)

Aquí es donde tu razonamiento falla. Un mínimo global debe ser alcanzado en un punto crítico... o en el límite, el conjunto! Una forma mucho más simple y más claro ejemplo podría ser la función $f(x) = x^3$. Tiene un único punto crítico, 0,, pero cuando usted toma una bola cerrada que contiene 0, el mínimo y el máximo que $f$ alcanza no está en un punto crítico, pero en un límite de la pelota.

Answer 3

Considere el siguiente ejemplo dimensional $$ f: \Bbb{R} \to \Bbb{R},\ f(x)=\begin{cases} x^2 & x\geq 0 \\ -x^2 & x <0 \end{cases}$$

Esta función es diferenciable, y es fácil ver que el único punto crítico es $x_0=0$. Pero $x_0=0$ no es un mundial (no local) mínimo/máximo.

En general, la búsqueda de puntos críticos no es suficiente para encontrar los extremos locales. Usted necesidad de utilizar la segunda derivada de la prueba para ver si los puntos críticos son extremos locales de puntos.