Hace este enfoque de límite $1$ o $\frac{1}{2}$

Question

Evaluar %#% $ de #% probé en dos métodos

% Método $$L=\lim _{x \to 0}\left(\frac{e^x}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right)$. $1$$

Pero $$L=\lim_{x \to 0}\left(\frac{\frac{e^x}{x}}{\frac{e^x-1}{x}}-\frac{1}{x}\right)$ $ tan

$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$$

% Método $$L=\lim_{x \to 0}\left(\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$. Tomando LCM obtenemos

$2$$$L=\lim_{x \to 0}\frac{xe^x-e^x+1}{xe^x-x}$\frac{0}{0}$ forma la regla de L'Hopital dos veces obtenemos

$ Since the limit is in $ $, es decir,

$$L=\lim_{x \to 0}\frac{xe^x}{xe^x+e^x-1}$$

Estoy seguro que el segundo método es correcto, pero quiero saber qué es el mal en el primer método

Answer 1

El primer método no es correcto. Usted puede tomar el límite de la expresión entera o se manipulan. No puede tomar el límite de sólo la mitad de él y tener el del resto más tarde.

Answer 2

Si existen límites para las dos funciones entonces usted puede ciertamente separar los límites como $$\lim_{x\to0}f(x)g(x) = \left(\lim_{x\to0}f(x)\right)\left(\lim_{x\to0}g(x)\right)$ $

Pero esto, no es cierto

$$\lim_{x\to0}f(x)g(x) \neq \lim_{x\to0}\left(f(x)\left(\lim_{x\to0}g(x)\right)\right)$$

Por lo tanto, en el método I, la siguiente no es cierto

$$L=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x}}{\frac{e^x-1}{x}}-\frac{1}{x} \neq \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x}$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $e^x -1 =x+\frac12 x^2+O(x^3)$. Por lo tanto, vemos que

$$\begin{align} \frac{e^x/x}{(e^x-1)/x}-\frac1x&=\frac{e^x-\left(1+\frac12 x+O(x^2)\right)}{x(1+\frac12 x+O(x^2))}\\\\ &=\frac{\frac{e^x-1}{x}-\frac12+O(x)}{1+\frac12 x+O(x^2)} \end {Alinee el} $$

con lo cual pasa al límite de rendimientos $1/2$ como era de esperar!