Precisa conexión entre complejidad de $\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ y $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$

Question

Estoy desperatly confundido por las notaciones y fórmulas así que si alguien puede aclarar la siguiente un poco las cosas, Í estaría profundamente agradecido. La Mentira de álgebra $\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow}$ de la adecuada orthochronous grupo de Lorentz $SO(1,3)_+^{\uparrow}$ está dado por
\begin{equation} [J_i,J_j]=i \epsilon_{ijk} J_k \end{equation} \begin{equation} [J_i,K_j]=i \epsilon_{ijk} K_k \end{equation} \begin{equation} [K_i,K_j]=- i \epsilon_{ijk} J_k \end{equation}

Ahora podemos definir nuevos generadores con las viejas $N^{\pm}_i= \frac{1}{2}(J_i \pm i K_i)$ que satisfacer \begin{equation} [N^{+}_i,N^{+}_j]=i \epsilon_{ijk} N^{+}_k ,\end{equation} \begin{equation} [N^{-}_i,N^{-}_j]=i \epsilon_{ijk} N^{-}_k ,\end{equation} \begin{equation} [N^{+}_i,N^{+}_j]= 0. \end{equation} donde podemos ver que $N^{+}_i$ $N^{-}_i$ hacer una copia de la Mentira álgebra $\mathfrak{su}(2)$ cada uno. Mi problema es llegar a lo que está pasando aquí matemáticamente precisa. Son las siguientes instrucciones correctas y si no por qué:
1. Cuando construimos los nuevos operadores de la antigua generadores que complexified $\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow}$ \begin{equation}(\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow})_\mathbb{C} = \mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow}\otimes \mathbb{C} \end{equation} 2. Vimos que $\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow})_\mathbb{C}$ es isomorph dos copias de la complexified Mentira álgebra de $\mathfrak{su(2)}$: $(\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow})_\mathbb{C} \simeq \mathfrak{su(2)}_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{su(2)}_{\mathbb{C}} $. Donde fue exactamente lo que necesitamos ese $\mathfrak{su(2)}$ es complexified aquí? La Mentira de álgebras definido por $N^{\pm}_i$ son exactamente los de $\mathfrak{su(2)}$ y nunca usamos compleja combinación lineal de $N^{\pm}_i$ o estoy mal aquí?
3. $\mathfrak{su(2)}_{\mathbb{C}}$ es isomorph a $(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}))_\mathbb{C}$:
\begin{equation}\mathfrak{su(2)}_{\mathbb{C}} \simeq (\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}))_\mathbb{C} \end{equation}
Aquí $(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))_\mathbb{C}$ denota la complexified Mentira álgebra de $SL(2,\mathbb{C})$
4. Es $(\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow})_\mathbb{C} \simeq (\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))_\mathbb{R}$ correcto? Aquí $(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))_\mathbb{R}$ denota la verdadera Mentira de álgebra de $SL(2,\mathbb{C})$
5. Es $(\mathfrak{so}(1,3)_+^{\uparrow})_\mathbb{C} \simeq (\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))_\mathbb{C} \oplus (\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))_\mathbb{C}$ correcto?

He buscado este tema en diferentes libros y cada uno parecía estado algo diferente. Un libro incluso se utilizan tres distintas versiones de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) $ es decir: $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) $, $(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}))_\mathbb{C}$ y $(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}))_\mathbb{R}$. Wikipedia establece simplemente que $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) $ es la complejización de la $\mathfrak{su(2)}$ sin hacer referencia alguna a $SL(2,\mathbb{C})$, con lo cual no me ayuda. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

He estado pensando sobre esto en los últimos días en preparación para un examen en la EPFL, como resultado de algunos realmente de mierda de notas del curso. Mi familiaridad con el tema, es por tanto bastante pobre, pero al menos me solidarizo con tu situación para mayor claridad.

1 . Creo que la clave para trabajar con este problema es primero hacer concreto lo que la complejización de la $\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$, es realmente y cuál es su álgebra. Sabemos que la base natural de la $\mathfrak{su}(2)$ son las matrices de Pauli $\{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ con el familiar Mentira Soporte de $[\sigma_i, \sigma_j] = i \varepsilon_{ijk}\sigma_k$. Este es un espacio vectorial REAL y la complejización es un complejo particular espacio vectorial donde la Mentira de soporte es esencialmente lo que esperamos que sea cuando el tratamiento del soporte como si es lineal en $i$ así

$\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$ es la Mentira de álgebra de formal sumas $u + iv$ donde $u,v \in \mathfrak{su}(2)$ y donde la complexified Mentira-del soporte se expresa en términos de la real Mentira soporte es $$[x + iy, u + iv]_{\mathbb{C}} = ([x,u] - [y,v]) + i([x,v] + [y,u])$$ No me voy a escribir el complejo de firmar como su fácil tomar como implícita. Ahora que esperamos estar de acuerdo en la definición probablemente voy a molestar a usted por ver complexified álgebras como real álgebras de dos veces la dimensión, porque me parece que esta situación es más transparente. Yo soy libre de t ver mi complexified algbra como un verdadero álgebra y en esta imagen de la mayoría de la base natural que podemos encontrar es $$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, i \sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3$$

Puedo comprobar el resultado de la Mentira de los soportes y terminamos con $$[\sigma_i, \sigma_j] = i \varepsilon_{ijk}\sigma_k \\ [\sigma_i, i\sigma_j] = i \varepsilon_{ijk}(i\sigma_k) \\ [i\sigma_i, i \sigma_j ] = -i \varepsilon_{ijk}\sigma_k$$

Se ve fácilmente una correspondencia $$J_j \leftrightarrow \sigma_j \qquad K_j\leftrightarrow i\sigma_j$$ y la conclusión de $$\mathfrak{so}(1,3) \simeq \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$$ así que parece que es el REAL $\mathfrak{so}(1,3)$ que es isomorfo a la complejización de la $\mathfrak{su}(2)$. Me parece que esto es mucho más transparente la manera de llegar a la isomorfismo, en lugar de ir a través de la complejización

2. Esto me parece que va a implicar $$\mathfrak{so}(1,3)_\mathbb{C} \simeq (\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C})_\mathbb{C} \simeq \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C} \oplus_\mathbb{C}\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C} $$

Tengo que admitir que no sé cómo hacer sentido de ir a través de la complejización de la $\mathfrak{so}(1,3)$ ni. Yo tenía un argumento planeado, pero se desplomó y he vuelto a la anterior. Maby voy a tratar de corregir esto si que volver y hablar conmigo.

3. Comencé a pensar acerca de esto, pero creo que en realidad significa $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})_\mathbb{C} \simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \simeq \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$? $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ es un verdadero espacio vectorial compone de traceless matrices complejas por lo que el 6 de base más evidente matrices son $$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix}0& 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \; \text{and} \; i\alpha_1, i\alpha_2, i\alpha_3$$ A partir de esto podemos encontrar una explícita de cambio de base a la complexified matrices de Pauli $$\sigma_1 = \alpha_2 + \alpha_3, \quad \sigma_2 = i\alpha_1 - i\alpha_3, \quad \sigma_3 = \alpha_1\\ i \sigma_1 = i\alpha_2 + i\alpha_3, \quad i\sigma_2 = \alpha_1 - \alpha_3, \quad i\sigma_3 = i\alpha_1$$ y puesto que el soporte es el colector vemos que la Mentira-estructuras de estos dos álgebras de Lie son el mismo significado son el mismo.

4. A mí me parece que vamos a tener $\mathfrak{so}(1,3) \simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ que tipo de sorpresas para mí.

5. Bueno, si 4. sostiene, a continuación, se deben tener.