¿Hay una posibilidad que ZFC es incompatible y, si es así, tenemos que desechar nuestras viejos pruebas?

Question

He aprendido que ZFC no ha sido coherente, y que además si uno fuera a empezar de ZFC y demostrar ZFC consistente, esto implicaría que ZFC no es consistente, debido a Gödel.

Un par de preguntas acerca de lo que acabo de decir: ¿esto significa que hay una posibilidad de que ZFC es contradictorio? Hay algunos realmente buenos (matemática) argumentos de por qué, aunque ZFC puede ser incoherente, probablemente es consistente? (o por lo menos que deberíamos usar incluso si no estamos seguros de que es coherente?) ¿Qué pasaría si alguien se para demostrar que ZFC eran incompatibles? Tendríamos que tirar todas nuestras pruebas antiguas? Y por último, ¿ Gödel del trabajo implica que, con el fin de demostrar ZFC coherente (sin automáticamente demostrando ZFC incompatibles en la misma carrera) necesitaríamos para hacer más suposiciones fuera de ZFC? En otras palabras, hay hipotéticamente una manera de demostrar ZFC consistente sin hacer más suposiciones?

Agradecería respuestas incluso a una de estas preguntas.

Answer 1

Primero de todo, las pruebas no existen en el vacío.

No podemos demostrar la consistencia de $\sf ZFC$ a partir de teorías como la $\sf ZFC$ sí, o incluso $\sf PA$. Pero podemos probar la consistencia de $\sf ZFC$ a partir de otras teorías, la más fuerte de las teorías. Por ejemplo, de $\sf ZFC+I$ donde $\sf I$ es el axioma que indica que existe un cardinal inaccesible, podemos demostrar que $\sf ZFC$ es consistente.

Esta es una respuesta a su última pregunta. Para demostrar $\sf ZFC$ es coherente con la necesidad de trabajar en teorías que no son sólo "$\sf ZFC$ sí mismo".

Ahora. Es posible que $\sf ZFC$ es incompatible? Sí. Es posible. ¿Qué sucede si es inconsistente? No hay puentes de colapso, eso es seguro. Vamos a investigar la inconsistencia para ver lo que lo causó. Después de que hemos entendido que, vamos a tratar de salvar lo que podamos de las matemáticas de los últimos 200 años, y vamos a proceder como antes, empujando las matemáticas hasta el límite.

Y en cuanto a los argumentos que $\sf ZFC$ es consistente. Así, la auto-evidency para uno. Creo que muchos de los axiomas son bastante naturales. Tal vez el poder conjunto de axiomas es un poco demasiado, pero el resto de los axiomas son realmente muy natural y que "no entrometerse", en el sentido de que no las sientes cuando usted hace su trabajo. Que es una buena cosa, desde fundacional de la teoría. Otro argumento es que no hemos encontrado ninguna contradicciones hasta ahora, y hemos estado presionando a casi un siglo desde que las $\sf ZFC$ fue establecido. Algunas personas muy inteligentes estudiado eso, y si no han encontrado ninguna, hay una buena probabilidad de que no podamos encontrar esa contradicción.

Ambos argumentos son un poco tonto, y un poco circular o falaz. No hay "buenos" argumentos. Esta es una cuestión de creencia, si usted quiere creer que $\sf ZFC$ es inconsistente, entonces por todos los medios encontrar una alternativa mejor. El resto de nosotros va a seguir para hacer matemáticas como lo hicimos hasta ahora.

Answer 2

Hay dos preguntas aquí:

• ¿Qué impacto tendría una contradicción en ZFC tiene en matemáticas?

• ¿Qué caminos hemos de concluir que ZFC es consistente?

Para el primero, a ver ¿Qué pasa si el actual fundamentos de la matemática son incompatibles? y ¿cuáles serían algunas de las principales consecuencias de la incompatibilidad de ZFC?; Creo que no tengo mucho más que añadir aquí. La versión corta es: matemáticas tiende a usar mucho menos de ZFC, y la gran mayoría de matemáticas no serían directamente afectados por una prueba de que ZFC es contradictorio.

Por último, aquí está la situación (para simplificar, voy a asumir que ZFC es consistente):

• Gödel trabajo muestra que ZFC no puede probar "Con(ZFC)," donde Con(ZFC) es una oración en el lenguaje de la teoría de conjuntos que, de una manera bastante clara, los estados que ZFC es consistente. Hay personas que argumentan acerca de si Con(ZFC) expresa realmente "ZFC es consistente;" por ahora, sin embargo, voy a dar esto por sentado.

• Esto significa que cualquier teoría T con lo que se demuestra Con(ZFC) debe tener axiomas que ZFC no. Esta realidad no significa que T debe ser más fuerte que ZFC, sólo que ZFC no es más fuerte que T. En principio, cada uno de los T y ZFC podría probar cosas que el otro no podía.

• Esto nos lleva al siguiente programa: revisión de una base muy débil de la teoría de B (en particular, sustancialmente más débil que la aritmética de Peano), y pregunte: "¿Qué axiomas tenemos que añadir a B a probar Con(ZFC)?" Tenga en cuenta que en la medida en que estos axiomas son intuitivamente claro, esto proporcionaría evidencia de que ZFC es, de hecho, consistentes, por lo que este programa puede ser utilizado como un intento intuitivamente demostrar la consistencia de ZFC.

• Resulta que esto se puede hacer! Muy muy groso, dado cualquier teoría razonable $T$ (incluyendo ZFC), hay algunos ordinal $\alpha$ tales que B+"$\alpha$ está bien fundada" se puede demostrar la consistencia de $T$. El más grande es el $\alpha$, el "más difícil" que es para probar que $T$ es consistente. Esta $\alpha$ se llama la prueba de la teoría ordinal de $T$, y ha sido ampliamente estudiado, y hay muchos mathoverflow preguntas al respecto; véase https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/ICMend.pdf.

Answer 3

Resulta que, la existencia de una contradicción implica que literalmente todo es verdad. Que implica que $3$ es primo, y también que $3$ no es primordial. Así que sí, si hay una contradicción en ZF y por consiguiente de ZFC (creo que también es debido a Godel, pero puedo equivocarme), entonces tendremos a chuck todo hacia fuera.

Answer 4

P: ¿esto significa que hay una posibilidad de que ZFC es contradictorio?

A. No.

P. ¿hay algunas realmente buenas (matemática) argumentos de por qué, aunque ZFC puede ser incoherente, probablemente es consistente?

A. Ver Shoenfield capítulo en el manual de la lógica matemática.

P. ¿Qué pasaría si alguien se para demostrar que ZFC eran incompatibles?

A. no, no.

P: Y por último, ¿ Gödel del trabajo implica que, con el fin de demostrar ZFC coherente (sin automáticamente demostrando ZFC incompatibles en la misma carrera) necesitaríamos para hacer más suposiciones fuera de ZFC? En otras palabras, hay hipotéticamente una manera de demostrar ZFC consistente sin hacer más suposiciones?

A. formales de derivación sintáctica de Con(ZFC) se codifica como una declaración de la aritmética es de ningún valor filosófico (a diferencia de decir (finitistic) la prueba de que el hecho de que (la costumbre) grupo de axiomas no implica que cada grupo es conmutativo). La importancia de el teorema de Gödel se encuentra en el hecho de que un finitistic prueba es imposible, así que debemos seguir con nuestras matemáticas vidas.