Si tenemos una inyectiva de morfismos de anillos de $\phi:B\to A$, y localizamos en un primer ideal $\mathcal{P}$$B$, lo que estamos haciendo a $A$ está obligando a los elementos de $\phi(B\setminus\mathcal{P})$ a sea invertible.
¿Qué significa esto para los ideales de $A$? Si algún ideal $I$ ocurre satisfacer $I \cap \phi(B\setminus\mathcal{P}) \neq \emptyset$, lo que significa que uno de sus elementos se invierte, por lo $I$ está "localizada".
En general, los ideales de una localización arbitraria $S^{-1}A$ corresponden a los ideales $I$$A$$I\cap S = \emptyset$.
De modo que la máxima de los ideales que tenemos en la localización de $A$ en el ideal maximal $\mathfrak{m} \subset B$, que Hartshorne llama a $A'$, puede ser identificado con la máxima ideales $\mathfrak{m}_i$$A$$\mathfrak{m}_i \cap (B\setminus \mathfrak{m}) = \emptyset $, es decir,$\mathfrak{m}_i \cap B \subset \mathfrak{m}$.
Pero $\mathfrak{m}_i \cap B$ es exactamente $f (\mathfrak{m}_i)$. Cerrado desde entonces los puntos del mapa para cerrado de puntos, esto significa que la máxima ideales de $A_{\mathfrak{m}}$ son exactamente los puntos de $f^{-1}(\{\mathfrak{m}\})$.
Como para la dimensión de la cosa, el punto es que el anillo local $\mathcal{O}_{P_i}$ es un DVR. Queremos poder contar las multiplicidades de los diversos preimages, y la manera de hacerlo es tomar un parámetro local en $Q$, es decir, un generador de la máxima ideal del anillo local, y ver lo que su multiplicidad es que, en los diversos preimages. (esto realmente no es nada, pero la definición de la retirada de un divisor)
Terminamos con este elemento $t$ en el DVR $\mathcal{O}_{P_i}$, con un valor distinto de cero ideales $(1) \supset (\pi) \supset (\pi^2) \supset \cdots$, e $\nu_{P_i} (t)$ es exactamente el más grande de $n$ tal que $t \in (\pi^n)$.
Pero podemos escribir $t = u\pi^n$ donde $u$ es una unidad, por lo que, de hecho,$(t) = (\pi^n)$. Así que una manera de encontrar $n$ es sólo tomar el cociente por $t$, y ver cómo de larga es la cadena de ideales.
En la tabla truco aquí es que cada cociente $(\pi^j) / (\pi^{j+1})$ $j\geq 0$ $1$- dimensional espacio vectorial sobre el campo base $k$ (pensar acerca de esto; las cosas pueden salir mal aquí si $k$ no es algebraicamente cerrado). De modo que podemos tratar a la cadena de ideales como la filtración de un espacio vectorial, y simplemente leer las $n$ como la dimensión.
Véase también el debate sobre esta cuestión con respecto a esta filtración, y la relación entre la longitud y el espacio vectorial de dimensión.
Bueno, creo que me acaba de responder a sus preguntas o tratado; nunca puede decir cuando termines de entender Hartshorne. Déjame saber si algo está claro. (suena como usted ya tiene una manija en la primera parte, a pesar de que)
