Proposición II de Hartshorne 6.9

Question

Me siento completamente en la oscuridad, como estoy totalmente ausente de lo que está pasando detrás de las escenas en esta sección. Me disculpo de antemano.

Prop. 6.9: Vamos a $X \to Y$ ser un número finito de morfismos de la no-singular curvas, entonces para cualquier divisor $D$ $Y$ tenemos $\deg f^*D=\deg f\deg D$.

No entiendo algunas de las declaraciones en el segundo párrafo:

¿Por qué son los puntos de $P_i$ $X$ tal que $f(P_i)=Q$ en correspondencia 1-1 con la máxima ideales $m_i$$A'$? De alguna manera nos han matado a la otra máxima de los ideales de la localización?

Y por qué es $\dim_k \mathcal{O}_{P_i}/t\mathcal{O}_{P_i}=v_{P_i}(t)$?

Estoy confundido acerca de algunas otras cosas, pero me imagino que si pido demasiado muchos detalles que nadie te quiere responder lo voy a dejar aquí ;-)

EDIT: creo que me descubrió mi primera pregunta, con que $B\hookrightarrow A$, $f(I)=I\cap A$ y el ideal de la correspondencia. Segunda pregunta se refiere (y un montón de otras cosas que todavía estoy tratando de averiguar).

Answer 1

Si tenemos una inyectiva de morfismos de anillos de $\phi:B\to A$, y localizamos en un primer ideal $\mathcal{P}$$B$, lo que estamos haciendo a $A$ está obligando a los elementos de $\phi(B\setminus\mathcal{P})$ a sea invertible.

¿Qué significa esto para los ideales de $A$? Si algún ideal $I$ ocurre satisfacer $I \cap \phi(B\setminus\mathcal{P}) \neq \emptyset$, lo que significa que uno de sus elementos se invierte, por lo $I$ está "localizada".

En general, los ideales de una localización arbitraria $S^{-1}A$ corresponden a los ideales $I$$A$$I\cap S = \emptyset$.

De modo que la máxima de los ideales que tenemos en la localización de $A$ en el ideal maximal $\mathfrak{m} \subset B$, que Hartshorne llama a $A'$, puede ser identificado con la máxima ideales $\mathfrak{m}_i$$A$$\mathfrak{m}_i \cap (B\setminus \mathfrak{m}) = \emptyset$, es decir,$\mathfrak{m}_i \cap B \subset \mathfrak{m}$.

Pero $\mathfrak{m}_i \cap B$ es exactamente $f (\mathfrak{m}_i)$. Cerrado desde entonces los puntos del mapa para cerrado de puntos, esto significa que la máxima ideales de $A_{\mathfrak{m}}$ son exactamente los puntos de $f^{-1}(\{\mathfrak{m}\})$.

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Como para la dimensión de la cosa, el punto es que el anillo local $\mathcal{O}_{P_i}$ es un DVR. Queremos poder contar las multiplicidades de los diversos preimages, y la manera de hacerlo es tomar un parámetro local en $Q$, es decir, un generador de la máxima ideal del anillo local, y ver lo que su multiplicidad es que, en los diversos preimages. (esto realmente no es nada, pero la definición de la retirada de un divisor)

Terminamos con este elemento $t$ en el DVR $\mathcal{O}_{P_i}$, con un valor distinto de cero ideales $(1) \supset (\pi) \supset (\pi^2) \supset \cdots$, e $\nu_{P_i} (t)$ es exactamente el más grande de $n$ tal que $t \in (\pi^n)$.

Pero podemos escribir $t = u\pi^n$ donde $u$ es una unidad, por lo que, de hecho,$(t) = (\pi^n)$. Así que una manera de encontrar $n$ es sólo tomar el cociente por $t$, y ver cómo de larga es la cadena de ideales.

En la tabla truco aquí es que cada cociente $(\pi^j) / (\pi^{j+1})$ $j\geq 0$ $1$- dimensional espacio vectorial sobre el campo base $k$ (pensar acerca de esto; las cosas pueden salir mal aquí si $k$ no es algebraicamente cerrado). De modo que podemos tratar a la cadena de ideales como la filtración de un espacio vectorial, y simplemente leer las $n$ como la dimensión.

Véase también el debate sobre esta cuestión con respecto a esta filtración, y la relación entre la longitud y el espacio vectorial de dimensión.

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Bueno, creo que me acaba de responder a sus preguntas o tratado; nunca puede decir cuando termines de entender Hartshorne. Déjame saber si algo está claro. (suena como usted ya tiene una manija en la primera parte, a pesar de que)