Gavilla localmente constante pero no constante

Question

Estoy en busca de una gavilla localmente constante que no es constante. Localmente constante significa que existe una abierta cubriendo el espacio total que la gavilla restringida a cada abierto situado en la cubierta es isomorfo a un haz constante. Pero la gavilla no debe ser constante a lo largo de X. Existe un ejemplo. Por favor ayuda.

Answer 1

Si $X$ está conectado localmente, poleas localmente constantes están (hasta isomorfismo) exactamente las poleas de las secciones de cubrir espacios $\pi:Y\to X$.
Tal una gavilla localmente constante es una constante si y solamente el % de cobertura $\pi$es trivial.
Así que cualquier cubierta no trivial le dará una gavilla no constante pero localmente constante.
El ejemplo más simple es la gavilla de secciones de la dos hoja cubierta no trivial $\mathbb C^*\to \mathbb C^*:z\mapsto z^2$ o su restricción a la unidad círculo $S^1\to S^1: e^{i\theta}\mapsto e^{2i\theta}$

Answer 2

Supongamos que $X$ está conectado (y es bastante razonable que la teoría de costumbre de cubrir los espacios se aplica), y elegir una base de punto de $x \in X$. Luego de dar un localmente constante gavilla (de abelian grupos, digamos) en $X$ es lo mismo que dar un grupo abelian $M$ con una acción de $\pi_1(X,x)$.

El grupo $M$ surge como el tallo de la localmente constante gavilla en $x$, y la acción de la $\pi_1(X,x)$ es obtenido mediante la elección de un elemento de $m \in M$, creo que de $m$ como una sección de un n.h. de $x$, y, a continuación, mover la sección alrededor de lazos basados en $x$ utilizando el localmente constante de la estructura. (Esto se llama el monodromy acción de $\pi_1(X,x)$ sobre el tallo $M$.)

Nota: esta es una frase de Georges Elencwajg la respuesta, el uso de la lengua de $\pi_1$ más que en el lenguaje de cubrir espacios (aunque el último está implícito en mi respuesta).

Answer 3

Incluso existen ejemplos donde está conectado el $X$. Por ejemplo, considerar la cubierta mapa $\mathbf R\to S^1$ dada por la exponencial. La gavilla de secciones continuas de este mapa es un localmente constante haz de conjuntos sobre $S^1$, pero no es constante porque no tiene ninguna sección global.

Answer 4

Sugerencia: Tomar $X$ a ser la Unión separada de dos espacios y dos constantes diferentes Tomar sheafs, uno en cada pieza.