Taimanov ' Teorema de extensión de s [recoger aplicaciones]

Question

En una topología de curso, hemos demostrado el siguiente teorema:

Deje $X$ ser cualquier espacio, $D \subseteq X$ denso, $Y$ un compacto $T_3$ espacio y $f: D \to Y$ ser cualquier mapa continuo, s.t. para todos los discontinuo cerrado $A, B \subseteq Y$: $\overline{f^{-1}(A)} \cap \overline{f^{-1}(B)} = \emptyset$ sostiene (el cierre lo que respecta a $X$). A continuación, hay una extensión continua de $f$$X$.

Este teorema parece bastante poderoso para mí, porque su prueba implica muchas filtro/ultrafilter cálculos, pero sin embargo no sé de una sola aplicación. ¿Puedes nombrar algunos para mí?

Gracias de antemano!

//edit:
@Henno Brandsma, Paulo H.: gracias por tu muy interesante respuestas!

Todavía me pregunto, si hay otras aplicaciones fuera de topología general (por ejemplo, el análisis, la teoría de la medida). Hay determinadas funciones que se vuelven sorprendentemente fácil definir el uso de este teorema (tenga en cuenta que no hay una única extensión, si $Y$, además, es Hausdorff)?

Answer 1

Engelking tiene esto como teorema 3.2.1. en mi edición. Él va a demostrar la siguiente consecuencia: cada compacto de Hausdorff espacio que tiene una base de cardinalidad $\le \kappa$, para algunos infinito cardenal $\kappa$, es la imagen continua de un subconjunto cerrado de el Cantor de cubos $\{0,1\}^\kappa$.

En la prueba se incrusta $X$ a $S^\kappa$, por lo que asumimos $X \subset S^\kappa$ donde $S$ es el espacio de Sierpinski $\{0,1\}$ ($\left\{0\right\}$ como el único no-trivial conjunto abierto), el uso de un anterior teorema universal de incrustaciones; la "identidad" mapa de $h$ $\{0,1\}^\kappa$ a $S^\kappa$ es continua, y entonces el teorema anterior se aplica por $D = h^{-1}[X]$, y su cierre (decir $Y$) en el Cantor de cubo y $X$ co-imagen, y $h$ como la función.

Después de comprobar esto, se puede extender $h$ $Y$y, a continuación, $Y$ es la necesaria subespacio cerrado de el Cantor de cubo.

(Hay otras formas de demostrar que, por supuesto, utilizando, por ejemplo, que el estándar del conjunto de Cantor mapas en $[0,1]$ y el uso de la integración en cubos de Tychonoff)

Otras consecuencias son difíciles de encontrar, porque los libros no son normalmente indexado a fin de que podamos encontrar fácilmente las consecuencias de un determinado teorema de, por ejemplo,

Engelking menciona que este resultado es debido a Taimanov, 1952, un artículo en ruso.

Answer 2

Allí es otra de las aplicaciones de este teorema. Es también en Engelking de la Topología General, enumerados como Teorema 3.5.5:

Compactification $c_1 X$ $c_2 X$ de un espacio de $X$ son equivalentes si, y sólo si, para cada par de subconjuntos cerrados $A,B\subseteq X$ hemos

$$ \Big( \overline{c_1[A]}\cap\overline{c_1[B]} = \emptyset \Big)\leftrightarrow \Big (\overline{c_2[A]}\cap\overline{c_2[B]} = \emptyset \Big)$$

La prueba se basa en el mapa de $h_i: c_i [X]\to X$ dada por la restricción $c_i|_X$$i\in\{ 1,2\}$. Como $c_i[X]$ es denso en el compactification $c_i X$, hay extensiones $C_2:c_2X\to c_1X$ $C_1:c_1X\to c_2X$ de las funciones de $c_1h_2: c_2[X]\to c_1 X$$c_2h_1:c_1[X]\to c_2 X$, de tal manera que $C_2\circ c_2 = c_1$$C_1\circ c_1 = c_2$.

También, el recíproco de Taimanov del teorema es verdadero.