Motivación para una substitución de integración particular

Question

En un viejo italiano problema de cálculo del libro, hay un ejemplo que se presenta:

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{2x-1}}$$

La solución utiliza el extraño sustitución de $$x=\frac{1}{1-u}$$

Algunos trabajos preliminares en el intento de determinar la motivación de por qué uno tendría que venir para arriba con un extraño sustitución produjo un triángulo rectángulo con hipotenusa $x$ y la pierna $x-1;$ la determinación de la otra pierna da $\sqrt{2x-1}.$ muy bien, este triángulo contiene todos los "importantes" partes de nuestro integrando, excepto en una que no sea conveniente.

Entonces, mi pregunta es doble:

(1) ¿alguien ve por qué habría de ser motivados a realizar la sustitución de un producto?

(2) ¿alguien vea cómo extender el trabajo que involucra el derecho triángulo para llegar a la solución?

Answer 1

A veces, la "motivación" para una sustitución es has solucionado el problema de alguna otra manera y buscar la solución y aviso que había esta sustitución que habría hecho todo funcionar hacia fuera muy bien.

Answer 2

Esto no responde la pregunta, pero toma la geometría un poco más allá de donde lo dejó. Considere el círculo de radio unidad en el plano cartesiano centrado en $O=(0,1)$. Que $A=(1,0)$ y $B=(x,0)$. Que $C=(1,\sqrt{2x-1})$. El triángulo de la derecha es $ABC$, con ángulo $\alpha$ $B$ de vértice. Otro triángulo rectángulo es $OAC$, con ángulo $\beta$ $O$. Entonces $$ u = \frac {x-1} {x} = \cos\alpha=\sin (\pi/2-\alpha) = \sin\angle BCA$ $ y $$ \sqrt{2x-1}=\tan\beta=\cot (\pi/2-\beta) = \cot\angle OCA. $$