Estoy tratando de entender la Proposición : "$\mathbb{Z}_{p}$-extensión son unramified fuera de $p$" como está formulado en el Capítulo 13 de la sección 13 .1 de Washington del libro "Introducción a la Cyclotomic Campos".
Deje $K_{\infty}/K$ $\mathbb {Z}_p$- extensión y deje $\frak L$ principal (posiblemente arquímedes) de $K$ que se encuentran por encima de $l \neq p.$ Y deje $I\subset \mathrm{Gal}(K_{\infty}/K)\cong \mathbb {Z}_p$ ser la inercia de grupo para $\frak L.$ Desde $I$ es cerrado , $I=0$ o $I=p^n\mathbb {Z}_p$ algunos $n$ asume que $I\neq 0.$, En particular, $I$ es infinito, entonces podemos suponer que la $\frak L$ es no-arquímedes (debido a $I$ debe tener un orden de 1 o 2 para el infinito de los números primos). Para cada una de las $n,$ elegir inductivamente un lugar $\frak{L}_n$ $K_{n}$ está por encima $\frak {L}_{n-1}$ $\frak{L}_0= \frak{L},$ Deje $\overline {K}_{n}$ ser la finalización de $K_n$$\frak {L}_n$, y deje $\overline {K}_{\infty}=\bigcup \overline {K}_n.$
Pregunta 1: ¿por qué podemos asumir que : $I\subset \mathrm{Gal}(\overline {K}_{\infty}/\overline {K}).$
Pregunta 2: ¿cómo prueba de que :$ U\cong (\mbox{finit group})\times \mathbb{Z}_{l}^{a}$
donde $U$ ser las unidades de $\overline {K}$ $a\in \mathbb Z.$
gracias de antemano
