Son sistemas de ecuaciones inherentemente "más expresable" que solo ecuaciones?

Question

La principal, la más amplia cuestión es si un conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones puede ser tal que no puede ser descrito por una ecuación única.

Para ser más precisos, supongamos que tengo un sistema de $m$ ecuaciones en $n$ variables

$f_1(x_1,x_2,...,x_n)=0, f_2(x_1,x_2,...,x_n)=0, ... f_m(x_1,x_2,...,x_n)=0$

(El $f_i$s, se asume el polinomios para el propósito de este post).

Si uno restringe las variables y los valores de la $f$s para el número real de que la respuesta a la pregunta anterior es no.

La ecuación de $f_1(x_1,x_2,...,x_n)^2+f_2(x_1,x_2,...,x_n)^2+...+f_m(x_1,x_2,...,x_n)^2=0$ tiene el mismo conjunto de soluciones como el sistema de ecuaciones.

¿Y si uno restringe los valores de números complejos? Es allí cualquier contexto donde los sistemas de ecuaciones son más expresable de ecuaciones en el anterior sentido?

Answer 1

Sí, de hecho, se trata de un contexto, dentro de las Matemáticas Aplicadas. Se llama el de los mínimos Cuadrados Método de los elementos Finitos (L. S. FEM) . Un artículo acerca de este método numérico, aplicado al Flujo Ideal en 2-D, es Labruj ere del Problema. Pero si la búsqueda de mínimos Cuadrados Métodos de elementos Finitos en el internet, ellos te dirán una muy diferente de la historia de este.