Cuando podemos intercambiar la traza y una integral/límite/derivados?

Question

Para una clase de seguimiento operador $A$ (actuando sobre un espacio de Hilbert), que es programable por una variable real $x$, ¿cuáles son las condiciones para el siguiente? $$ \mathrm{tr} \int_a^b A(x) \, dx = \int_a^b \mathrm{tr} \, A(x) \, dx $$ $$ \mathrm{tr} \lim_{x \to a} A(x) = \lim_{x \to a} \mathrm{tr} \, A(x) $$ $$ \mathrm{tr} \frac{d A(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \mathrm{tr} \, A(x) $$

Supongo que siempre se puede elegir una base, escribir las expresiones como infinito sumas y uso de la convergencia uniforme como un criterio de selección. Es allí una manera más económica?

Answer 1

El rastro es una funcional lineal continua en el espacio de seguimiento-la clase de los operadores.

Así que usted puede hacer lo que quiera siempre que $\int_a^b A(x)dx$, $\lim_{x\to a} A(x)$ y $\frac{dA(x)}{dx}$ sentido con respecto a la traza de la clase de la norma. Para la integral, esto significa que $x\mapsto A(x)$ debe ser, por ejemplo, Bochner-integrable de $[a,b]$ en el espacio de la traza de la clase de los operadores; y para las otras dos cosas, que los límites que deben existir con respecto a la traza de la clase de la norma.

Presumiblemente, también hay más débiles condiciones que hacen que todo funcione.