Deje $f : S^3 \rightarrow S^3$ tienen la propiedad de $f(x) = f(-x)$ por cada $x \in S^3$. Mostrar que $f_{*} : H_{3}S^3 \rightarrow H_{3}S^3$ es el cero mapa.
Respuesta
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mland
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No creo que esto es cierto. Considere el siguiente mapa: $\mathbb{R}P^3 \to \mathbb{R}P^3/\mathbb{R}P^2 \cong S^3$ que se derrumba el subcomplejo $\mathbb{R}P^2$ a un punto. Usted puede precomponer esto con la proyección de $S^3 \to \mathbb{R}P^3$ obtener un mapa $S^3 \to S^3$ tener la propiedad que usted desea. Este mapa tiene un grado $2$.
En general, los mapas de la clase describir son bijective en los mapas de $\mathbb{R}P^3 \to S^3$. Pero es un hecho que $$\lbrack \mathbb{R}P^3, S^3 \rbrack \cong H^3(\mathbb{R}P^3;\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}.$$
Más o menos, esta es la forma en que me construyó un contraejemplo a su pregunta.
