Resultado de la compacidad de EDPs

Question

Hay un argumento que veo que se usa a menudo en el libro de Ecuaciones en Derivadas Parciales de Evans, que realmente no entiendo. Tomamos una secuencia acotada, digamos $(u_m) \in W^{1,q}(\Omega)$. Según algunos resultados de análisis funcional, sabemos que como este es un espacio de Banach reflexivo, hay una subsecuencia que converge débilmente a algún elemento, digamos $u_{m_j} \rightharpoonup u$. Pero ahora, se afirma que esta subsecuencia converge fuertemente en $L^q$. ¿Por qué es esto? Estoy asumiendo que tiene que ver con el resultado de compacidad de Rellich, $W^{1,p} \subset \subset L^q$ para todo $1\leq q< p^{*}=\frac{np}{n-p}$. ¿Cómo funciona entonces este argumento?

Answer 1

Comencemos con una secuencia débilmente convergente: $u_j \rightharpoonup u$ en $W^{1,p}$, $1

Nota que también tenemos $u_j \rightharpoonup u$ en $L^p$. Por lo tanto, el límite de $(u_{j_k})$ no es otro que $u$, porque la convergencia fuerte implica la débil, y los límites débiles son únicos (la topología débil es Hausdorff). Solo queda invocar un hecho sencillo de la topología general: si $u,u_j$ son elementos de un espacio de Hausdorff y cada subsucesión de $(u_j)$ tiene una subsucesión que converge a $u$, entonces $u_j\to u$. (La prueba es por contradicción y se deja como ejercicio).

Answer 2

Los operadores lineales compactos en espacios de Banach mapean secuencias débilmente convergentes a secuencias fuertemente convergentes; a estos operadores también se les llama completamente continuos. La incrustación $W^{1,q} \to L^q$ es un tal operador.