¿son dos métricas con conjuntos compactos iguales topológicamente equivalentes?

Question

¿son dos métricas con conjuntos compactos iguales topológicamente equivalentes?

Creo que si el cardinal del conjunto es finito entonces tenemos una métrica que es la métrica discreta y toda métrica sobre este conjunto es equivalente con la métrica discreta.

ahora dejemos $X$ sea un conjunto infinito, en este caso considero $X= \Bbb{N}$ y $d(x,y)=|x-y|$ y k(x,y) es una métrica discreta, k y d tienen los mismos conjuntos compactos y son topológicamente equivalentes porque cualquier conjunto simple es un conjunto abierto, ¿son dos métricas con los mismos conjuntos compactos topológicamente equivalentes? (en un conjunto infinito)

Answer 1

Sí, porque en particular tienen las mismas secuencias convergentes (una secuencia convergente con su límite es un subconjunto compacto). Y, por tanto, los mismos conjuntos cerrados (para los espacios métricos $X$ un subconjunto $C$ es cerrado si para cada secuencia de $C$ que converge en $X$ tiene su límite en $C$ ), y por lo tanto los mismos conjuntos abiertos también.