Demostrando algebraicamente $\binom{m}{n} + \binom{m}{n-1} = \binom{m+1}{n}$

Question

Estoy trabajando a través de los ejercicios y he pasado la mitad de un día en un problema, así que me decidí a obtener un poco de ayuda porque no puedo entenderlo.

Mostrar que si $n$ es un entero positivo, como máximo, igual a $m$, luego $$ \binom{m}{n} + \binom{m}{n-1} = \binom{m+1}{n} $$ Ampliar la suma de los dos coeficientes binomiales y obtener $$ \frac{m.}{n!(m-n)!} + \frac{m.}{(n-1)!(m-n+1)!} $$ Ahora, yo tengo problemas de sintetizar las dos fracciones, concretamente, encontrar el común denominador de las dos fracciones. He intentado todo tipo de cosas que yo podía pensar, pero parece que no puede conseguir a$n!(m-n+n)!$, que está en las soluciones en la parte de atrás del libro.

Mi último intento $$ \frac{m!(n!(m-n)!) + m!((n-1)!(m-n+1)!)}{n!(m-n)!(m-n+1)!(n-1)!} = $$ $$ = \frac{m!(n!(m-n)! + (n-1)!(m-n+1)!)}{n!(m-n+1)!(m-n)!(n-1)!} = $$ $$ = \frac{m!(mn!-nn!+((mn-n^2+n)!-(m-n+1)!)!}{n!(m-n+1)!(m-n)!(n-1)!} $$

Y así, me siento como que me falta algo, como no veo ninguna oportunidad para simplificar este lío.

Answer 1

Gente perezosa como yo debería hacerlo como sigue. Definir $R(m,n)$ como:

$$R(m,n) = \frac{\binom{m}{n}+\binom{m}{n-1}}{\binom{m+1}{n}}$$

Debe quedar claro que $R(m,n)$ es una función racional y queremos demostrar que esto es realmente idéntico a 1. Ahora, porque es manifiestamente una función racional, el álgebra está garantizado para simplificar mucho haciendo este método conveniente para la gente perezosa. Tenemos:

$$\begin{split} \frac{\binom{m}{n}}{\binom{m+1}{n}} &= \frac{m-n+1}{m+1}\\[1em] \frac{\binom{m}{n-1}}{\binom{m+1}{n}} &= \frac{n}{m+1} \end{dividido} $$

Claramente $R(m,n)$ es 1.

Answer 2

Si usted realmente quiere demostrar esta identidad mediante una sangrienta/sangrientos manipulaciones algebraicas, a continuación, tenga en cuenta lo siguiente: \begin{align} \binom{m}{n}+\binom{m}{n-1} &= \frac{m!}{n!(m-n)!}+\frac{m!}{(n-1)!(m-n+1)!}\\[1em] &= \frac{m!}{n!(m-n)!}+\frac{n\cdot m!}{n!(m-n)!(m-n+1)}\\[1em] &= \frac{m!(m-n+1)+n\cdot m!}{n!(m-n)!(m-n+1)}\\[1em] &= \frac{m!(m-n+1+n)}{n!(m-n)!(m-n+1)}\\[1em] &= \frac{m!(m+1)}{n!(m-n)!(m-n+1)}\\[1em] &= \frac{(m+1)!}{n!(m+1-n)!}\\[1em] &= \binom{m+1}{n}. \end{align}

Answer 3

Hay una muy simple combinatoria prueba de ello.

Supongamos que tenemos $m+1$ objetos denominados $a_0, \dots, a_m$ y queremos seleccionar $n$ objetos fuera de ellos. Hay $\binom {m+1}{n}$ maneras de hacer esto.

Esta selección puede realizarse de dos maneras. Tampoco incluimos el primer elemento de nuestra selección o no. Si incluimos el primer elemento nos quedamos con la selección de $n-1$ objetos de la parte restante del $m$ elementos que se pueden hacer en $\binom{m}{n-1}$ maneras. Si no se incluye el primer elemento que necesitamos para seleccionar $n$ objetos de la parte restante del $m$ elementos que se pueden hacer en $\binom {m}{n}$ maneras. Por lo tanto, tenemos,

$$ \binom {m+1}{n} = \binom {m}{n-1} + \binom{m}{n} $$

Answer 4

El MCM de a$n!(m-n)!$$(n-1)!(m-n+1)!$$n!(m-n+1)!$. Este debe ser el caso, ya $n!=(n-1)!\cdot n$$(m-n+1)!=(m-n)!\cdot (m-n+1)$ . Con esto en mente, usted debería ser capaz de convertir fácilmente las dos fracciones a un común denominador. Es decir,

$$\frac{m!\cdot(m-n+1)}{n!(m-n+1)!}+\frac{m!\cdot n}{n!(m-n+1)!}$$

Realmente no es tan complicado como parece, una vez que tienen el común denominador correcta.