¿Puede un grupo de mentira compacto tiene un subgrupo de la mentira de no-compacto?

Question

Esperemos que el título lo dice todo en cuanto a la pregunta que le pido. Creo que la respuesta es no, pero no estoy seguro por qué. Realmente no sé muchos teoremas profundos sobre la estructura de grupos de lie.

Answer 1

Depende de lo que quieres decir con "subgrupos". Si tu definición de un subgrupo de la mentira requiere que el subgrupo es cerrado o incrustado (que es equivalente), entonces esto no es posible. Si no, entonces considere el ejemplo de una parámetro subgrupo cuya imagen es (después de las identificaciones obvio) una línea recta con una inclinación irracional dentro el toro $S^1 \times S^1$.

Answer 2

Yo no voy para preocuparse por lo que es la definición del "Subgrupo de la mentira", pero un grupo de mentira compacto sin duda puede tener un subgrupo que es un grupo de Lie no compacto. Considerar el toro $$\Bbb T^2=\{(e^{it},e^{is}):t,s\in \Bbb R\}.$$ Suppose $\alpha\in\Bbb R $ is irrational and consider the subgroup $% $ $\{(e^{it},e^{i\alpha t}):t\in\Bbb R\}.$

Answer 3

Sí la línea verdadera está incrustada como subgrupo del Toro 2-dimensional de la mentira.