¿Qué herramientas de vector propio-como están allí para el análisis de tensores de la fila tres y superior?

Question

Si tengo un rango de-dos tensor que quiero analizar ─ decir, un eléctrico cuadrupolo momento, o momento de inercia ─ a menudo puede ser muy fáciles de analizar por trasladarse a su principal marco de los ejes: uno gira a un marco de referencia donde el tensor de la diagonal, y esto simplifica todo tipo de interpretaciones sobre ello, si uno ve el tensor como una transformación lineal o un formulario o lo que sea.

Cuando uno se enfrenta con un tensor de rango tres y superior, sin embargo, es mucho menos evidente de cómo proceder. Dado un tensor general con diferentes entradas (aunque, probablemente, pidiendo que ser simétrica en todos los pares de dimensiones, sólo para mantener las cosas simples), se presume que existe un marco de referencia donde el tensor es mucho más fácil de entender (así, como ejemplo, una inclinada octupole que se comporta como $Y_{30}$ tiene simetría axial, y se verá de manera más simple si usted pone su $z$ de coordenadas a lo largo del eje), pero ¿cuál es ese marco, ¿qué propiedades tiene, y ¿cómo se encuentra?

Answer 1

Una clasificación en dos tensor va a tener 3 principio de los ejes que puede ser visualizado. Usted va a terminar con 3 ejes y la mejor manera de visualizar estas en un punto es con una esfera achatada en cada punto. Efectivamente usted acaba de girar la elipse creado por 2 el principio de los ejes sobre el tercero. Varios paquetes de software puede hacer esto, yo prefiero ParaView pero a cada uno lo suyo.

Orden superior y que, aunque no tienen una muy buena manera de visualizar. Me gustaría pasar a un tipo diferente de análisis y en lugar de empezar a mirar a la topología del campo en lugar de estudio y el tensor de invariantes. Estas invariantes son los coeficientes de la ecuación característica, que para el rango de dos:

$$ \lambda^3 + P \lambda^2 + Q \lambda + R = 0 $$

Expresiones similares existen, por supuesto, para dimensiones superiores. Este papel y este documento se proporcionan algoritmos para calcular las constantes, y proporcionar las expresiones para un rango de cuatro tensor. En el contexto de mi trabajo, dinámica de fluidos, esto se hace con el gradiente de velocidad del tensor, o la tasa-de-tensor de deformaciones o la tasa de rotación del tensor. El $(P,Q,R)$ espacio está dividido por el discriminante de las superficies, y estos pueden ser asignados a topológico características. En el rango-dos ejemplo, hay 8 sectores que corresponden a se centra, sillas de montar, nodos, etc, que pueden ser estables o inestables (véase, por ejemplo, este papel para aplicaciones en líquidos). De nuevo, el dibujo de vuelta a mi trabajo, estos se pueden asignar propiedades físicas. Por ejemplo, inestable focus/compresión corresponde a vórtice de compresión. Inestable nodo/silla/silla de montar es un vórtice de la hoja mientras estable nodo/silla/silla de montar es un vórtice de tubo. Estoy seguro de que otras descripciones pueden ser atribuidos en su caso, y por orden superior invariantes. Los invariantes a sí mismos también pueden tener significado físico. Para los líquidos, $P$ es el volumétrico de expansión/compresión y $Q$ está relacionado con la rotación.

La última topológica de la técnica que yo estoy familiarizado con es el Morese-Pequeño Complejo. En este, se debe tomar un campo e identificar los puntos críticos -- mínimos locales, maxima, sillas de montar, y los nodos. Estos puntos se conectan entre sí a través del campo y los límites alrededor de cada punto crítico identificar el flujo de información a lo largo de la topología. Es útil para crear mapas topológicos de conjuntos de datos de alta dimensión.