Resolver una ecuación trigonométrica con dominio desconocido y restringida

Question

Dado $ \tan^2(\fracθ3) = 1$ y $θ\in [0, 4\pi]$ encontrar θ.

No estoy seguro de como progresar con dominio restringido. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Problemas para el dominio $[0, 4\pi]$. $$ \tan^2(\fracθ3) = 1$ $ $$ \tan(\fracθ3) = 1$ $ Desde $ \tan^{-1}(1) = \frac\pi4$ $$ \fracθ3 = \frac\pi4$ $$$ θ = 3\pi/4$ $

¿Cómo debo lidiar con el dominio para resolver la ecuación?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\text{If }\tan^2x=\tan^2A$$

$x=n\pi\pm A$ $n$ Dónde está cualquier número entero (por favor probar esto)

Ya han encontrado $A\left(=\frac\theta3, \text{here}\right)=\frac\pi4$

---

Como alternativa, utilice $$\cos2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}$ $

y $$\cos y=\cos A\implies y=2m\pi\pm A$$ where $$ %m es cualquier número entero

y otra forma de $y,$ $\cos y=0$ $y=(2r+1)\frac\pi2$ $r$ Dónde está cualquier número entero

Answer 2

No hay ninguna razón para no cambiar el problema a$ tan^2(\phi) = 1$$\phi\in [0, 12\pi]$. Puede ser menos confuso para usted de esta manera. A continuación, sólo recuerde para multiplicar su respuesta final por 3, ya que $\theta = 3 \phi$.

Cuántas revoluciones es $12 \cdot pi$? Seis a la derecha?

$tan(\phi) = \pm 1$

Si usted tiene un vector en el $(x, y)$ a un ángulo de $\phi$ de descuento en el eje X positivo, ¿cuál es $tan(\phi)$?

Usted debe ser capaz de decir de básicos de trigonometría que la tangente del ángulo es $y/x$. Por lo tanto, estamos buscando la $\phi$ que $y/x = \pm 1$, en otras palabras, la x distancia es la misma que la y a distancia.

Usted debe encontrar los 4 ángulos para los cuales el valor de x es el mismo que el valor de y. Uno de ellos es el que se muestra arriba, $\phi = pi / 4$. Pero eso es sólo 4 ángulos en una revolución. Su rango es de seis revoluciones. Que del total de 24 ángulos.

Por lo que su solución debe incluir las seis soluciones: $\phi = \frac \pi 4, \phi = \frac \pi 4 + 2\pi, ... \phi = \frac \pi 4 + 5 \cdot 2\pi$.

Los otros 24 - 6 = 18 soluciones a partir de las seis revoluciones de los otros 3 ángulos.

No te olvides de escribir tu respuesta final en términos de $\theta$, no $\phi$.

Answer 3

Poner ${\theta\over3}=:\alpha\in[0,{4\pi\over3}\bigr]$. $\tan^2\alpha=1$, Donde $\tan\alpha\in\{-1,1\}$. Asumiendo la restricción $\alpha$ en cuenta que encontramos $\alpha\in\bigl\{{\pi\over4}, {3\pi\over4},{5\pi\over4}\bigr\}$ como posibles soluciones. La solución de $\theta$ por lo tanto se da por $\bigl\{{3\pi\over4}, {9\pi\over4},{15\pi\over4}\bigr\}$.