Demuestre que todo grupo G con |G|<6 es abeliano.

Question

Demuestre que todo grupo G con |G|<6 es abeliano.

Así que traté de probar esta por casos.

Caso 1: Supongamos que |G| = 1, entonces G es el grupo trivial, y es abeliano.

Caso 2: |G| es primo, entonces |G| = 2, 3 o 5. Todo grupo de orden p, donde p es primo es cíclico. Sea g un generador de cualquier grupo cíclico G y sea $a,b\in G$ . Entonces, $\exists x,y \in \mathbb{Z}$ tal que $a=g^x$ y $b=g^y$ . Entonces tenemos que $$ab = g^x g^y = g^{x+y} = g^{y+x} = g^y g^x = ba$$ Por lo tanto, todos los grupos cíclicos son abelianos.

Caso 3: |G| = 4

Me costó un poco entender esto hasta que mi profesor me dijo que sólo dos grupos tienen el orden 4, $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{V}$ El grupo Klein. Así que mi prueba de este caso fue una especie de fuerza bruta, mostrando que cada grupo era abeliano.

¿Y si me piden que demuestre que todos los grupos de orden inferior a 100 ( Tenga en cuenta que entiendo que esto no es cierto )? La fuerza bruta no sería la más eficiente, ya que hay muchos grupos de orden inferior a 100. ¿Existe una forma más eficiente de demostrar el caso 3?

Answer 1

Para el caso de que $|G| = 4$ Hay dos posibilidades. Si $G$ tiene un elemento de orden $4$ debe ser cíclico, por lo tanto abeliano.

Si $G$ no tiene ningún elemento de orden $4$ entonces todo elemento no identitario debe tener orden $2$ . Entonces, escogiendo dos elementos no identitarios cualesquiera, sabemos que $(ab)^2 = abab = e$ (ya que todos los elementos no identitarios tienen orden $2$ ). Multiplicando por la derecha por $b^{-1}a^{-1} = ba$ tenemos

\begin{align*}abab(ba) &= e(ba)\\ ab &= ba, \end{align*}

para que dos elementos genéricos no identitarios conmuten, por lo que $G$ es abeliana.

Con el tiempo, aprenderás el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos (¡oh, qué elegante!) para clasificar eficazmente todos los grupos abelianos finitos.