Cardinalidad de homotopía de la categoría de categorías

Question

La categoría de conjuntos finitos ha homotopy cardinalidad $e$, debido a que $$ |{\bf FinSet}|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left|\operatorname{Aut}\ [n]\right|}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}. $$

¿Cuál es la homotopy cardinalidad de a ${\bf FinCat}$, la categoría de finito de categorías?

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Conjuntos de $0$-categorías. De acuerdo a la tabla periódica de categorías, tenemos $$ |{\bf FinCat_{-2}}|=1,\qquad |{\bf FinCat_{-1}}|=2,\qquad |{\bf FinCat_{0}}|=e. $$ Hay una razón para esperar que esto será cada vez más una secuencia?

Answer 1

Hay infinitamente muchos no equivalentes finito de categorías sin automorfismos, por lo que el homotopy cardinalidad es infinito. Por ejemplo, si $G=(V,E)$ es cualquier finito gráfico, podemos considerar el conjunto $V\sqcup E$ parcialmente ordenado por decir un borde es mayor que la de sus vértices. Claramente el gráfico puede ser recuperado a partir de este poset, por lo que cada automorphism de la poset da un automorphism de la gráfica. Pero hay infinitamente muchos grafos finitos con no trivial automorfismos (de hecho, la probabilidad de que un aleatoria finita gráfica no tiene no trivial de automorfismos va a $1$ como el número de vértices va a $\infty$). Así, obtenemos un número infinito finito posets con no trivial automorfismos.