Prueba de $\limsup\frac 1 {a_n}=\frac 1 {\liminf a_n}$ y $\limsup a_n\cdot \limsup \frac 1 {a_n} \ge 1$

Question

Deje $a_n$ ser una secuencia tal que $\forall n\in \mathbb n: 0<a\le a_n\le b <\infty.$

Probar:

1. $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac 1 {a_n}=\frac 1 {\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n}$

2. $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n\cdot \limsup_{n\to\infty}\frac 1 {a_n} \ge 1$ y hay una igualdad de iff $a_n$ es convergente.

1. Supongamos que hay dos subsecuencias: $a_{n_l}, \ a_{n_k}$ tal que $\lim a_{n_k} = k, \ \lim a_{n_l}=l$ y supongamos $l\le k$, lo $\lim \frac 1 {a_{n_k}}=\frac 1 k , \ \lim \frac 1 {a_{n_l}}=\frac 1 l$ claramente: $\frac 1 k\le \frac 1 l\le l\le k$, por lo que es fácil ver que una vez que el mayor límite (supermum) es 'invertida' se ha convertido en el más pequeño de límite (infimum).

   Me doy cuenta de que esto no muestra la igualdad, no sé cómo hacerlo de la otra manera y ni siquiera estoy seguro de si lo que hizo está bien.

2. Si $a_n$ converge, supongamos que a $L$ como su límite, entonces tenemos: $L\cdot \frac 1 L=1$.

   Si no convergen, a continuación, $a_n$ puede tender a infinito, o no tienen un límite. A partir del 1 de cambiar a $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n\cdot \frac 1 {\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n} \ge 1$ y de BW, cada secuencia tiene una convergencia de larga, y ya para la convergencia de las subsecuencias: $\liminf a_n\le \limsup a_n$ tenemos $\frac {\limsup a_n} {\liminf a_n}=\limsup a_n\cdot \limsup\frac 1 {a_n} \ge 1$.

   Esto probablemente debería ser en valor absoluto, puesto que uno de los subsequnce límites pueden ser negativos, pero no es en absoluto el valor de la pregunta.

Answer 1

1. Esto es fácil. Asumir que $m>0$ es un eventual límite inferior $a_n$ (es decir, $a_n \geq m$ $n \gg 1$). $1/a_n \leq 1/m$, Que $\limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{a_n} \leq \frac{1}{m}$. Definición de $\liminf$, quiere decir que $\limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{a_n} \leq \liminf_{n \to +\infty} a_n$. Ahora toma un eventual límite superior $M$ $1/a_n$ y deducir del mismo modo que $\liminf_{n \to +\infty} a_n \leq \limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{a_n}$.
2. Esto es demostrado aquí.

Por tu Asunción, todas las cantidades son realmente positivas.

Answer 2

Creo que los siguientes lemas son particularmente útiles (De hecho, algunos toman estos como las definiciones de limsup y liminf).

1) $\limsup a_n \le a$ si y sólo si para cada $\epsilon>0$, $a_n\le a+\epsilon$ para todos, pero un número finito de $a_n$'s.

2) $\limsup a_n \ge a$ si y sólo si para cada $\epsilon>0$, $a_n\ge a-\epsilon$ para una infinidad de $a_n$'s.

Similares declaraciones a cabo por el liminf.

Suponiendo $$\limsup \frac{1}{a_n}=a$$ we wish to show that $$\liminf a_n=\frac{1}{a}.$$ Let $\epsilon>0$ and choose $\delta>0$ so that $\frac{1}{a+\delta}=\frac{1}{a}+\epsilon$. Then by (1), $\frac{1}{a_n}\le a+\delta$ for all but a finite number of $a_n$'s, hence, $a_n\ge \frac{1}{a+\delta}=\frac{1}{a}+\epsilon$ for all but a finite number of $a_n$'s. Likewise by (2), $\frac{1}{a_n}\ge+\delta$ for infinitely many $a_n$'s, hence, $a_n\le \frac{1} {+\delta}=\frac{1}{a}+\epsilon$ for infinitely many $a_n$'s. We have just shown that, $$\liminf a_n = \frac{1}{a}.$$ Esto es lo que queríamos demostrar.

Similares argumentos válidos para el resto de los casos.

Answer 3

Para obtener la primera de ellas, basta con notar $$\sup\{1/{a_k}; k\ge n\} = \frac1{\inf\{a_k; k\ge n\}}$ $ y tener $n\to\infty$ $$\lim_{n\to\infty}\sup\{1/a_k; k\ge n\} = \lim_{n\to\infty}\frac1{\inf\{a_k; k\ge n\}} = \frac1{\lim_{n\to\infty}\inf\{a_k; k\ge n\}}.$ $ a (aunque usted debe también comprobar los casos cuando la LHS es $+\infty$ y cuando han cero en el denominador.)

Una vez depositada la primera parte, usted consigue $$\limsup_{n\to\infty} \frac1{a_n} = \frac1{\liminf_{n\to\infty} a_n} \ge \frac1{\limsup_{n\to\infty} a_n}.$ $, entonces puede simplemente multiplicas esto por $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$.

Una vez más, usted debe comprobar por separado los casos, que algunos de los valores anteriores es $+\infty$ o cuando la división por cero.