Entender la lógica detrás de encontrar la función de los padres da un diferencial exacto

Question

Sé el procedimiento para encontrar la función principal, pero no entiendo la lógica detrás de este procedimiento.

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Vamos a suponer que son recibidos con una diferencial exacta: $$du=y\,dx+(x+2y)dy\tag{a}$$ and we wish to find the parent function $u=u(x,y)$.

For the case of a general differential $df$ $$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\tag{b}$$

Using the form of $(\mathrm{b})$ in the specific case of $(un)$ we have $$\frac{\partial u}{\partial x}=y\tag{1}$$ y $$\frac{\partial u}{\partial y}=x+2y\tag{2}$$

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Starting with equation $(1)$; I attempt via integration wrt $x$ to find the parent function $u$:

$$u(x,y)=\fbox{$\color{red}{\int\frac{\partial u}{\partial x}dx=xy+g(y)}$}$$

Where $g(y)$ is an unknown function of $y$.

Now it is at this point that I am already confused for $2$ reasons:

1. The LHS of the boxed equation is $$\int\frac{\partial u}{\partial x}\color{blue}{dx}$$ But, shouldn't this really be $$\int\frac{\partial u}{\partial x}\color{blue}{\partial x}$$ since we are integrating a partial derivative? Therefore, Is this really the 'partial integral'?

I write this as I see no justification in integrating a partial derivative when the integration differential is not partial.

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2. The RHS has $g(y)$ as an unknown function of $y$. But why is this? Why not have an unknown function of $x$; $h(x)$ or an unknown function of $x$ & $y$; $q(x,y)$?

Or lastly; since I know that only one of these $3$ possibilities can be correct why not write the RHS as $xy+g(y)+\text{constant}$

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Proceeding anyway to equation $(2)$ y siguiendo la misma receta como antes Me parece que $$u(x,y)=\fbox{$\color{#180}{\int\frac{\partial u}{\partial y}dy=xy+y^2+r(x)}$}$$ Donde $r(x)$ es una función desconocida de $x$.

Iff $u(x,y)$ es igual para ambos $\color{red}{xy+g(y)}$ e $\color{#180}{xy + y^2 + r(x)}$ nos debe coincidir con ellos supongo y a la conclusión de que $g(y)=y^2$$r(x)=0$. Es esta lógica es la correcta?

Si es así, podemos escribir la función principal como $$u(x,y)=xy + y^2$$ The problem is que la respuesta correcta es $$\color{#F80}{u(x,y)=xy + y^2+C}$$ where $C$ is a constant. But where on earth did the constant $C$ come from? I just matched up the two equations for $u(x,y)$ and found that there is no extra constant $C$.

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Sé que esto es un montón de preguntas para un post, pero si alguien es capaz de responder a algunas o ninguna de ellas será muy apreciada.

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Sólo en caso de que se preguntan, me dieron la idea para esta pregunta de otro usuarios de la pregunta en este sitio que se puede encontrar aquí y también he leído este puesto similar desde el mismo usuario, pero todavía estoy confundido, lo siento.

Answer 1

Para la pregunta acerca de parcial integrales - sostengo que en realidad no tiene sentido definir un parcial independiente integral (de forma análoga a derivadas parciales), porque el punto de derivadas parciales es asumir una función de muchas variables y diferencian con respecto a uno solo de ellos. Pero el ordinario de Riemann/Lebesgue la integral ya que puede tomar una función de varias variables e integrar con respecto a uno solo de ellos. La razón $$\int\frac{\partial u}{\partial x}dx$$ is well defined is because $\frac{\partial u}{\partial x}$ is just a function of $x$ and $$ y así podemos integrar con normalidad.

En cuanto a por qué no escribimos $xy+g(y)+C$, debido a la constante puede estar ya incluida en $g(y)$. (Sería, sin embargo, ser perfectamente aceptable para escribir de esa manera, simplemente no es necesario). Esto también se explica por qué se perdió la $C$ plazo - porque no tenía en cuenta el hecho de que $g(y)$ o $r(x)$ podría tener un término constante - al igual que la integración en una variable.

Answer 2

(aparte: el OP usa $u$ para dos propósitos diferentes; voy a optar por el uso de $u$ para la variable — si deseo expresar la variable $u$ como una función de la $x$$y$, voy a introducir una nueva letra para que la función en lugar de reutilizar $u$)

La notación $\partial u / \partial x$ demandas notación especial, debido a que $\mathrm{d} u$ $\mathrm{d} x$ (e, incluso,$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x$, caso de que los diferenciales de ser relaciones de uno a otro) son cosas que son significativas en el mismo tipo de contextos en los que se utiliza la notación $\partial u/\partial x$, y una de las necesidades de la notación de distinguir entre ellos.

(esta notación para las derivadas parciales tiene otras deficiencias, pero ese es otro asunto)

Sin embargo, en el parcial integral, no hay ninguna ambigüedad — de hecho, $\mathrm{d}x$ es específicamente deseado, ya que se exprese correctamente el diferencial formulario para ser integrado.

Lo que es diferente aquí es el $\int$. La integración debe ocurrir a través de una ruta de acceso; los caminos de la constante de $y$ son implícitamente la intención aquí.

(y los escalares $\partial u/\partial x$, cuando se limita a un camino de constante $y$, es igual a $\mathrm{d} u/\mathrm{d} x$, lo cual está bien definido en los caminos de la constante de $y$)