Supongamos $e:F\to\mathbb{R}$ es cualquier anillo-homomorphism. Tenga en cuenta que si $f\in F$ es tal que $f>0$ en todas partes, entonces $e(f)>0$: $f$ es una unidad en $F$, lo $e(f)\neq 0$, e $\sqrt{f}$ es suave, por lo $e(f)=e(\sqrt{f}^2)=e(\sqrt{f})^2\geq 0$. Afirmo, además, que $e$ $\mathbb{R}$- álgebra homomorphism, por lo $e(c)=c$ si $c$ es una función constante. De hecho, sabemos que este debe ser cierto si $c\in\mathbb{Q}$; para arbitrario $c\in\mathbb{R}$, ahora uso el hecho de que $e(c-q)>0$ si $q<c$ $q\in\mathbb{Q}$ $e(q-c)>0$ si $q>c$$q\in\mathbb{Q}$.
Ahora supongamos que $e$ no es dado por la evaluación en cualquier momento. A continuación, para cada una de las $x\in M$, hay una función de $f_x\in F$ tal que $e(f_x)\neq f_x(x)$. Dejando $c=e(f_x)$ y la sustitución de $f_x$$f_x-c$, podemos suponer que $f_x(x)\neq 0$$e(f_x)=0$. La sustitución de $f_x$ con su plaza, que además puede suponer que $f_x\geq 0$ en todas partes. Para cualquier compacto $K\subseteq M$, un número finito de conjuntos de $\{y:f_x(y)>0\}$ cubierta $K$, y así la suma de la correspondiente a $f_x$'s, obtenemos un elemento $f_K\in F$ tal que $f_K\geq 0$ en todas partes, $f_K>0$$K$, e $e(f_K)=0$. La multiplicación por una constante apropiada, podemos asumir que $f_K>1$$K$.
Ahora, como usted sugiere, tome $g\in F$ tal que $g>0$ $g^{-1}([0,c])$ es compacto para cada una de las $c$. Desde $g>0$, $e(g)>0$. Deje $c=e(g)$$K=g^{-1}([0,2c])$. A continuación, $e(g+cf_K)=e(g)=c$ desde $e(f_K)=0$. Pero $g+cf_K>c$ en todas partes (si $x\not\in K$, $g(x)\geq 2c>c$, y si $x\in K$, $cf_K(x)>c$). Por lo $h=g+cf_k-c$ es estrictamente positivo, y por lo $e(h)>0$. Pero $e(h)=e(g)-e(c)=c-c=0$. Esta es una contradicción.
