Ordenar el campo de funciones racionales reales

Question

Leer el artículo de Wikipedia sobre ordenó campos, me he encontrado con una interesante declaración, una variante de lo que ahora estoy tratando de probar. Básicamente, estoy tratando de demostrar que el conjunto de real funciones racionales pueden ser hechos en un orden de campo definiendo $\frac{p(x)}{q(x)} > 0$ siempre $\frac{a_0}{b_0} > 0$ donde $a_0$ es la principal coeficiente de $p(x)$ $b_0$ es el líder en el coeficiente de $q(x)$. (Ahora, suponemos que > se comporta en la forma habitual en $\mathbb{R}$.) Me preguntaba si estoy en alguna especie de "camino correcto" con este pensamiento:

• Ya que la relación > en cualquier "par" de real de funciones racionales $r, r'$ depende esencialmente de la comparabilidad de los principales coeficientes coeficientes de $r$ $r'$ - que nosotros llamaremos $c$$c'$, respectivamente, para facilitar la referencia - mira a $c$$c'$.
• Desde $c, c' \in \mathbb{R}$, e $\mathbb{R}$ es totalmente ordenado de campo en su propio derecho, $c$ $c'$ son siempre comparables y podemos tener $c > c'$ o $c \ngtr c'$, lo que equivale a$c \leq c'$, en virtud de la orden total ($\leq$ siendo la negación de la >).
• Desde $c$ $c'$ siempre son comparables, entonces siempre o $r > r'$ o $r \ngtr r'$.
• Este es el estado general de la "lógica" detrás de la siguiente argumentación.

Yo haría algo así (por la propiedad de la "si $a \leq b$$a + c \leq b + c$"):

Deje $x, y, z$ ser real, funciones racionales, y deje $c_x, c_y, c_z$ el valor de su líder-coeficiente de proporciones respectivamente. Suponga $x > y$. La "desigualdad" $x > y$ implica que el $c_x > c_y$, que, desde el $c_x$ $c_y$ son en sí mismos en el campo de $\mathbb{R}$ totalmente ordenado por >, $c_x + c_z > c_y + c_z$ mantiene, e implica que el $x + z > y + z$.

No voy a hacer nada por la segunda propiedad - esto era sólo una demostración, y me pregunto si esta estrategia/razonamiento es válido. Gracias de antemano y perdón de antemano por el largo, largo post.

Answer 1

Es más fácil para el fin de la primera $\mathbb{R}[X]$ (el anillo de polinomios) y, a continuación, utilice el hecho de que un pedido en un dominio se extiende únicamente a su campo de fracciones.

El orden en $\mathbb{R}[X]$ puede ser definido por

$$ f \le g \quad\text{si y sólo si}\quad \lim_{x\to\infty}(g(x)-f(x))=\infty $$ (que es lo mismo que decir que el coeficiente de $g-f$ es positivo). La comprobación de la orden de propiedades es fácil.

Al $D,\le$ es un orden de dominio y $F$ es su campo de fracciones, entonces hay una única extensión de $\le$$F$, lo $F,\le$ ordenada de campo, mediante la definición de $$ \frac{a}{b}\le\frac{c}{d} \quad\text{si y sólo si}\quad ad\le bc $$

Answer 2

Estás haciendo las cosas más difíciles de lo necesario. Deje $P$ el conjunto de funciones racionales positivos relación junto con el $0$ función; lo que quiero mostrar es que el $P$ satisface la definición de un positivo de cono en el campo de $F$ de funciones racionales: es cerrado bajo la suma y la multiplicación, la plaza de cada $f\in F$$P$, e $-1\notin P$. Todos estos son muy fáciles de verificar. Ahora para funciones racionales $f$ $g$ definir $f\le_P g$ si y sólo si $g-f\in P$, y demostrar que las $\langle F,\le_P\rangle$ es un orden de campo de acuerdo a la orden basado en la definición (o simplemente apelar al resultado fácil que la definición a través de un orden lineal es equivalente a la definición a través de un positivo de cono).