¿Cuántos elementos podemos obtener de esa manera?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito con $n$ elementos con el pedido inicial $g_1,g_2,...,g_n$ y vamos a crear el grupo tabla de multiplicación de $G$ con este pedido inicial.

En esa mesa se ha $n$ filas y cada elemento aparece exactamente una vez en una fila.

Deje $s_i$ ser el producto de los elementos de la $i$th fila en el orden de las filas.

La pregunta es ¿cuántas $s_i$ podemos obtener ?

Mi motivación depende de esta pregunta y su respuesta es $|G'|$, es decir, el número de elementos del colector de grupo. Por lo tanto, en nuestro caso, este número puede ser en la mayoría de las $|G'|$.

También tengo la duda de que si este número depende de la orden inicial de los elementos de $G$ o no.

Gracias.

Edit: Para $G=S_3$ respuesta es $3=|G'|$ que es el límite superior.

Answer 1

Supuse que como usted hizo que esto no depende de la ordenación de la $g_i$ y ejecutó un programa de verificación. He encontrado (si no me he hecho de un error) que el número de $s_i$ pueden diferir. En el grupo diedro $D_4$, con el siguiente pedido

()

(2,4)

(1,2)(3,4)

(1,2,3,4)

(1,3)

(1,3)(2,4)

(1,4,3,2)

(1,4)(2,3)

la conmutación de los dos últimos elementos, cambia el número de $s_i$ de 1 a 2. Dicho esto, me imagino que no es suficiente "espacio de maniobra" que uno no puede decir mucho más que el número de los distintos $s_i$ se encuentra en algún lugar de 1 y $|G'|$, a pesar de que sería relativamente muy interesante, si este no fuera el caso.