¿Euler, Grinberg,... que ' s siguiente?

Question

Dado un gráfico planar cúbicos del hamiltoniano con caras de $F$. Que $a_k$ sea el número de la cara del grado $k$ interior y $b_k$ fuera el ciclo de Hamilton. Tenemos los siguientes:

1. $\sum \limits_k \left(a_k+b_k\right)k = 6F-12$ (debido a Euler; mi intento)
2. $\sum \limits_k \left(a_k-b_k\right)(k-2)=0$ (Teorema de Grinberg)

¿Todos estos dos de este tipo o hay más?

Answer 1

Vamos a restringir a bipartito, cúbico, hamilton Grafos $G$ sólo se compone de $4$- o $6$-caras. Estos gráficos se puede construir fuera de $6$ caras de grado $4$ y el resto de grado $6$. Deje $F$ el número de caras, $V$ el número de Vértices, $E$ el número de aristas y $a_k$ ser el número de la cara de grado $k$ dentro y $b_k$ fuera del ciclo de Hamilton. A partir de Euler, obtenemos: $$ F+V=E+2\\ F=\sum_{k\in \{4,6\}} a_k+b_k = E-V+2 $$ Para $3$-regular los gráficos, tenemos $2E=3V$$a_4+b_4=6$, por lo que $$ a_6+b_6= V\left(\frac{3}2-1\right)-4 \etiqueta{1} $$ Mediante la combinación de este y $a_4+b_4=6$ con Grinberg del $$ (a_4-b_4)+2(a_6-b_6)=0 $$ se derivan en $$ a_4+2a_6=\frac12V-1 $$ He comprobado algunos ejemplos y parece que funciona. Dime si hay algo mal o poco claro.

Dependiendo $\frac V2$ ser pares o impares hay $1,3,5$ o $(0,)2,4,6$ $4$- caras dentro de la HC, donde no estoy seguro de si $0$ es posible...