Mensurabilidad de Borel "más cercano punto de selección"

Question

Que $(Y,d)$ ser una métrica espacial y que $X \subset Y$. ¿Existe un % de función medible Borel $\gamma: Y \to X$tal que, para todos los $y \in Y$, $d(y,\gamma(y)) \leq 2 \inf\{d(y,x) : x \in X\}$ %? Estaría interesado en una función de selección con la asunción que $X$ es Borel, o incluso cerrado, pero prefiero una respuesta que funcione para arbitrario $X$.

Answer 1

Si $X$ es separable, entonces sí. Tomar un subconjunto denso contable $\left\{x_n\right\}_n$.

Definir $f:Y\to\mathbb{N}$ $f(x)=\operatorname{min}\left\{n:d(x,x_n)<2d(x,X)\right\}$. $f$ Es medible (ejercicio), y el mapa $x:\mathbb{N}\to X$, $x(n)=x_n$ es trivial mensurable, por lo que $\gamma=xf$ obras.

Mi conjetura es que esto podría ser falso inseparable $X$, pero yo no tengo a mano ningún contraejemplo.