Condiciones equivalentes para el grupo o grupos de ramificación en una extensión de Galois finita

Question

Dejemos que $L|K$ sea una extensión de Galois finita y $v$ una valoración discreta normalizada sobre $L$ tal que su restricción a $K$ se extiende de forma única a $L$ .

(1) ¿Por qué $G_1=\{\sigma\in G(L|K)\mid v(\sigma(x)-x)\ge 2\ \ \forall x\in\mathcal{O}\}$ igual al grupo de ramificación $R(L|K)=\{\sigma\in G(L|K)\mid v\left(\frac{\sigma(x)}{x}-1\right)>0\ \ \forall x\in L^*\}$ ? (Aquí $\mathcal{O}$ es el anillo de valoración de $L$ ).

(2) ¿Es cierto que en general $G_s$ es igual a $\{\sigma\in G(L|K)\mid v(\sigma(\pi)-\pi)\ge s+1\}$ , donde $\pi$ es cualquier elemento de $L^*$ tal que $v(\pi)=1$ ? (El $G_s$ son los grupos de ramificación superior, es decir $G_s=\{\sigma\in G(L|K)\mid v(\sigma(x)-x)\ge s+1\ \ \forall x\in\mathcal{O}\}$ ).

Esta cuestión se desprende del capítulo II, $\S 10$ de la Teoría Algebraica de Números de Neukirch.

Answer 1

Para (1): En $\S$ II.9 Neukirch demuestra que $R(L/K)$ es el Sylow (normal, por lo tanto único) $p$ -subgrupo del grupo de inercia $I(L/K)$ . Pero (Proposición II.10.2) el cociente $G_0/G_1$ es cíclico de orden primo a $p$ mientras que para cada $i \geq 1$ , $G_i/G_{i+1}$ es un $p$ -grupo. Dado que $G_i = \{1\}$ para un tamaño suficientemente grande $i$ , $G_1$ debe ser el Sylow $p$ -subgrupo de $I(L/K)$ . (Hay que admitir que la proposición II.10.2 viene poco después de Neukirch afirma que "claramente" $R(L/K) = G_1$ Por lo tanto, este argumento no es lo que tiene en mente. Pero es un argumento, al menos).

Para (2): no. $L/K$ podría ser desramificado, y entonces podemos tomar $\pi \in K$ Así que $v(\sigma(\pi)-\pi) = v(0) = \infty \geq s+1$ es válida para cualquier $\sigma$ por lo que este último grupo es siempre igual a $G$ , mientras que $G_s = \{1\}$ para todos $s$ en este caso.