Qué teorema sería falso si el palmo de conjunto vacío no es $\lbrace \mathbf{0}\rbrace$

Question

Sé que muchos libros de definir la envergadura de conjunto vacío es $\lbrace\mathbf{0}\rbrace$.

Sin embargo, me encontré con esta definición de sistema generador de muchos lugares (como el Romano Steven Avanzados de Álgebra Lineal o incluso Proofwiki:

Deje $M$ ser una izquierda $R$-módulo, vamos a $E\subseteq M$, y deje $I_n$ el conjunto $\lbrace x\in\mathbb{N}\mid 1\leq x\leq n\rbrace$ para cada número natural $n$. El conjunto abarcan $E$ (o $\langle E\rangle$) está definido por la \begin{equation} \langle E\rangle:=\left\{\mathbf{a}\in M\Bigg|\exists(n\in\mathbb{Z}^+)\left[\exists(r:I_n\rightarrow R)\exists(\mathbf{u}:I_n\rightarrow E)\left[\mathbf{a}=\sum_{i=1}^n r(i)\mathbf{u}(i)\right]\right]\right\}. \end{equation}

En otras palabras, el conjunto de $\langle E\rangle$ es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los elementos de $E$.

Mi problema es, según la definición, debemos tener presente:

Un conjunto $E$ está vacío si y sólo si $\langle E\rangle$ está vacía.

Por qué? Sólo voy a probar el avance de caso: Supongamos que el $E$ está vacía, y suponemos que por el bien de la contradicción que $\langle E\rangle$ no está vacío. Desde $\langle E\rangle$ no está vacío, no debe existir $\mathbf{a}\in\langle E\rangle$. Esto implica que debe existir un entero positivo $n$ tal que $\mathbf{a}=\sum_{i=1}^n r(i)\mathbf{u}(i)$ para algunos la función $r:I_n\rightarrow R$ y algunas de las funciones $\mathbf{u}:I_n\rightarrow E$. Desde $I_n$ no está vacía, se deduce que el $E$ no debe ser vacío, lo cual es una contradicción con la suposición de que $E$ está vacía. QED.

Así, según la definición, el intervalo de conjunto vacío está VACÍO!

Es como tenemos dos convenios de aquí. La primera es que el lapso de conjunto vacío es el vector cero del espacio, mientras que el segundo es que el lapso de conjunto vacío está vacío.

Mi problema es, que la convención debería yo me quedo con (y no, no de acuerdo a mi profe, no le importa de todos modos, pero me importa). Por lo tanto, estoy considerando la consecuencia de tener $\langle\emptyset\rangle=\emptyset$. Además, tiene la propiedad de que $E$ está vacía iff $\langle E\rangle$ está vacía. Pero si $\emptyset$ no abarcan el cero espacio vectorial, entonces el vector cero espacio no tiene una base, y que es bastante grande inconveniente. Así, no sería cierto ya que todo espacio vectorial tiene una base.

¿Qué otros teoremas serían falsas a partir de esta definición básica? Si hay muchos inconvenientes, debo descartar esta definición y el libro en sí?

Answer 1

Vi algunos buenos consejos para usted en los comentarios. Pero también entiendo que ciertos (aparente) las irregularidades que puede ser irritante. No debería. Considerar la regla de que el lineal span $<E>$ de un conjunto $E$ de los vectores debe ser un espacio lineal. Sería una excepción si $<\emptyset>$ $\emptyset$ debido a que es no lineal en el espacio (que no tienen un "vector cero"). Así como los números tienen su "cero" y establece su "puesta a cero", espacios lineales tienen sus "cero espacio lineal", que es de {0}. Usted debe seguir la definición que $<E>$ es el más pequeño espacio vectorial que incluye $E$. No hay excepción para $E = \emptyset$. La pragmática de cálculo de $<E>$ pasa a través de la definición. Para $\emptyset$, no el cálculo es necesario.

Tal vez usted puede conseguir a gusto con un ejemplo más. Como físico, usted está familiarizado con la notación de exponente $x^y$ de los números, "$x$$y$". Si $y$ es un número entero positivo (es decir: $5$), a continuación, $x^y$ es $x*x*x*x*x$. Si $y = -5$ $x^y$ representa $1/x^5$ ($x \neq 0$). Pero, ¿qué es $x^0$? No es que una multiplicación con una lista de cero $x$'s? Así, el cálculo de las reglas de los exponentes, $x^5*x^{-5} = x^{5-5} = x^0$ por un lado y $x^5/x^5 = 1$ en el otro lado. Convenio: $x^0 = 1$, el vacío producto de $x$'s $1$ y una excepción es evitar (aunque se debe evitar la $x = 0$ aquí). ¿Qué acerca de la propuesta de $x^0 = 0$? Como el cero es el elemento neutro de la suma, $1$ es el elemento neutro de la multiplicación. Supongo que lo que la suma de una lista vacía de números...? A la derecha.