Construcción de polígonos regulares en una hoja de un papel rayado ortogonal - un cuaderno de matemáticas regulares - reflexioné sobre lo que se necesitaría para que el polígono que tiene sus vértices en la intersección de las líneas de cuadrícula. (Podríamos considerar el papel que abarca infinitamente en todas direcciones)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los únicos polígonos regulares que se puede dibujar con vértices en el estándar entero de celosía es que tengo miedo de la plaza. No voy a explicar cómo dibujar!
Bien podríamos considerar la posibilidad de polígonos dibujados en el plano Cartesiano con vértices en puntos racionales, y bien podría tomar el centro de nuestro polígono ser el origen. Deje $P$ $Q$ ser vértices adyacentes con los vectores de posición $v$$w$. A continuación, $v\cdot v=w\cdot w=a$ dicen y $v\cdot w=a\cos(2\pi/n)=b$ decir. Necesitamos $a$ $b$ a un ser racional, por lo que el $\cos(2\pi/ n)$ debe ser racional. Pero $2\cos(2\pi /n)$ es una expresión algebraica entero, por lo que debe ser un integer ordinario. Reducimos los casos $n=3$, $4$ o $6$.
Si podemos dibujar un hexágono regular en $\mathbb{Q}^2$ podemos sacar triángulo equilátero, por lo que vamos a centrarnos en eso. Incrustar nuestro avión en tres dimensiones del espacio, y considerar el vector producto $v\wedge w$. Entonces $|v\wedge w|^2=(v\cdot v)(w\cdot w)-(v\cdot w)^2=a^2(1-\cos^2\pi/3) =\frac34 a^2$. But $v\wedge w$ es racional múltiples de un vector unitario perpendicular a nuestro avión, por lo $|v\wedge w|^2$ es un cuadrado de un racional. Oops!
Supongo que uno podría buscar en buenas aproximaciones a los polígonos regulares dibujado en el entero de rejilla, o de polígonos regulares en el entero de las rejillas dimensiones de $3$ o más.
