Caracterizaciones equivalentes de ordinales de la forma $\omega^\delta$

Question

Dejemos que $\alpha$ sea un ordinal límite. Demuestre que los siguientes son equivalentes:

1. $\forall \beta, \gamma<\alpha (\beta+\gamma<\alpha)$
2. $\forall \beta<\alpha(\beta+\alpha=\alpha)$
3. $\forall X\subset \alpha(\text{type}(X)=\alpha, \text{ or,} \text{ type}(\alpha-X)=\alpha)$
4. $\exists \delta(\alpha=\omega^\delta )$ .

Lo que he probado: He demostrado que: $1\rightarrow2$ y $1\rightarrow3$ .

¿Puede alguien ayudarme? Gracias por adelantado:)

Answer 1

Yo recomendaría mostrar las implicaciones 1⇒3⇒2⇒1, y 1⇒4⇒1.

A continuación se presentan los esquemas (bastante completos) de los que no ha completado.

(3⇒2) Dado $\beta < \alpha$ , tenga en cuenta que como $\operatorname{type}(\beta) = \beta < \alpha$ por (3) se deduce que $\operatorname{type}(\alpha \setminus \beta) = \alpha$ . Entonces $\alpha = \operatorname{type} ( \beta + ( \alpha \setminus \beta ) ) = \operatorname{type} (\beta) + \operatorname{type}(\alpha \setminus \beta) = \beta + \alpha$ .

(2⇒1) Recordemos que la adición ordinal es estrictamente monótona en el sumando derecho, por lo que utilizando (2) se deduce que dado $\beta , \gamma < \alpha$ tenemos $\beta + \gamma < \beta + \alpha = \alpha$ .

(1⇒4) Dado un ordinal límite $\alpha$ Si se cumple (1), defina $$\delta = \min \{ \delta \in \mathbf{On} : \alpha < \omega^{\delta+1} \}.$$ Tenga en cuenta que $\omega^\delta \leq \alpha$ y por lo tanto hay ordinales únicos $\gamma , \zeta$ tal que $\zeta < \omega^\delta$ y $\omega^\delta \cdot \gamma + \zeta = \alpha$ . Aplicando (1) se deduce que $\zeta = 0$ y $\gamma = 1$ .

(4⇒1) Por inducción transfinita en $\delta > 0$ podemos demostrar que $\beta + \gamma < \omega^\delta$ siempre que $\beta , \gamma < \omega^\delta$ .

• El caso base $\delta = 1$ sólo dice que la suma de dos ordinales finitos es un ordinal finito.

• Si $\delta = \zeta + 1$ Supongamos que $\beta , \gamma < \omega^\delta = \omega^{\zeta+1} = \omega^\zeta \cdot \omega = \sup_{n < \omega} \omega^\zeta \cdot n$ . Entonces debe haber un $n < \omega$ tal que $\beta , \gamma < \omega^\zeta \cdot n$ y entonces tenemos $$ \beta + \gamma < \omega^\zeta \cdot n + \omega^\zeta \cdot n = \omega^\zeta \cdot (n+n) < \omega^\zeta \cdot \omega = \omega^\delta. $$

• Si $\delta > 1$ es un ordinal límite, y $\beta , \gamma < \omega^\delta = \sup_{\zeta < \delta} \omega^\zeta$ entonces debe haber un $\zeta < \delta$ tal que $\beta , \gamma < \omega^\zeta$ y por la hipótesis de inducción se deduce que $\alpha + \beta < \omega^\zeta \leq \omega^\delta$ .

Answer 2

(@Arthur: Muchas gracias. Por la parte $4 \Rightarrow 1$ he tratado de probar. Pero no estoy seguro de tener razón. Así que escribo aquí como respuesta, ya que el comentario no puede contener la prueba larga).

La parte $(4 \Rightarrow 1)$

Para $\delta=1$ es obviamente correcto, porque la suma de dos ordinales finitos cualquiera es menor que $\omega$ .

Suponiendo ahora que para cualquier $x<\delta$ el caso es siempre correcto.

Supongamos que $\delta$ es un sucesor. Sea $\delta=y+1$ . Entonces $\omega^\delta=\omega^y \times \omega$ . $\beta$ y $\gamma$ debe ser mayor que $\omega^y$ Si no es así $\beta+\gamma\le\omega^y$ . Así que dejemos $\beta=\omega^y \times i +j$ y $\gamma=\omega^y \times m + n$ , donde $i,j,m,n \in \omega$ . Por lo tanto, $\beta + \gamma\le \omega^y \times (i+1+m+1)\le \omega^\delta.$

Supongamos que $\delta$ es un ordinal límite. Sea $\omega^\delta=\sup\{\omega^\xi: \xi \in \delta\}$ . Por lo tanto, para cualquier $\beta, \gamma < \omega^\delta$ existe un $\xi'$ tal que $\beta, \gamma<\omega^{\xi'}$ y, por lo tanto, por la suposición, tenemos $\beta+\gamma<\omega^{\xi'}$ .