Fórmula cerrada para la media

Question

Supongamos que tenemos el yo.yo.d. variables aleatorias $X_{11}, X_{12},\ldots, X_{nn}$, de tal manera que cada una de las $X_{ij}$ tiene distribución normal estándar $N(0,1)$, con una media de $0$ y la varianza $1$. Dado un número entero $k>0$, hay algunos cerró la fórmula para la media de la $$E\Big(\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_k=1}^nX_{i_1i_2}X_{i_2i_3}\ldots X_{i_{k-1}i_k}X_{i_ki_1}\Big)$$

?

He trabajado los casos de $k=1,2,3,4$, lo que le dio, respectivamente, $0,n,0,8n^2+3n$. No estoy seguro acerca de la última, pero sé que la media es $0$ si $k$ es impar.

Solo para aclarar, esta es la media de la traza de $X^k$ donde $X$ es una matriz aleatoria (es una matriz cuadrada con entradas $X_{ij}$, es decir, $$X = \left[ \begin{array}{ccc} X_{11} & \ldots & X_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ X_{n1} & \ldots & X_{nn}\\ \end{array} \right]. $$

Información será útil, gracias.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero un enfoque sugerido para el problema... Se reduce el problema a contar algunas particiones.

El enfoque que yo sugiero es ir a través de Isserlis Teorema, que da una expresión para el producto de centrado distribuciones normales como

\begin{align*} \mathbf E[ X_1 \cdots X_{2n} ] = \sum \prod_{p=1}^{n} E[ X_{p_1} X_{p_2} ], \end{align*} donde la suma se ejecuta a través de todas las particiones de $\{1,\ldots, 2n\}$ en pares $(p_1,p_2)$: es decir, \begin{align*} \bigcup_{p=1}^n \{p_1,p_2\} = \{1,\ldots, 2n\}. \end{align*} Este resultado se da, en general, para correlaciona variables normales. Es notorio que en el caso independiente, la expectativa $E[X_{p_1} X_{p_2}] = 0$ si $X_{p_1} = X_{p_2}$, y además, el producto $\prod_{p=1}^{n} E[ X_{p_1} X_{p_2} ] = 0$ si $X_{p_1} = X_{p_2}$ es cierto para todos los $p=1,\ldots, n$.

El problema ahora es puramente combinatoria: dado un conjunto múltiple de las variables de $\{X_1,\ldots, X_{2n}\}$, ¿cuántas maneras existen para particionar el conjunto múltiple en parejas de tal manera que cada par consta de dos copias de la misma variable?

Como ya he dicho, esto no es una respuesta completa, pero la deja con un dócil enfoque siempre y cuando usted está dispuesto a hacer algunas contando!