Probar binomial Idenidad sin cálculo

Question

Cómo establecer las siguientes identidades sin la ayuda de cálculo:

Para el entero positivo$n, $$$\sum_{1\le r\le n}\frac{(-1)^{r-1}\binom nr}r=\sum_{1\le r\le n}\frac1r $ $

Y

Answer 1

Para la primera pregunta let$\displaystyle S_n=\sum_{1\le r\le n}\frac{(-1)^{r-1}\binom nr}r$

$\displaystyle\implies S_{m+1}-S_m=\sum_{1\le r\le m+1}(-1)^{r-1}\frac{\binom{m+1}r-\binom mr}r-\binom m{m+1}\frac{(-1)^m}{m+1}$

$\displaystyle=\sum_{1\le r\le m+1}(-1)^{r-1}\frac{\binom{m+1}r-\binom mr}r$ As$\binom mr=0$ para$r>m$ o$r<0$

Ahora usando esta fórmula,$\displaystyle\binom{m+1}r=\binom mr+\binom m{r-1}\iff \binom{m+1}r-\binom mr=\binom m{r-1}$

De nuevo, $\displaystyle\frac{\binom m{r-1}}r=\frac{m!}{\{m-(r-1)\}!(r-1)!\cdot r}=\frac1{m+1}\cdot\frac{(m+1)!}{(m+1-r)!\cdot r!}$ $\displaystyle=\frac1{m+1}\cdot\binom{m+1}r$

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

$\displaystyle\implies S_{m+1}-S_m=\sum_{1\le r\le m+1}(-1)^{r-1}\cdot\frac1{m+1}\cdot\binom{m+1}r$

Ahora, $\displaystyle=\frac1{m+1}\sum_{1\le r\le m+1}(-1)^{r-1}\binom{m+1}r$

Como$\displaystyle=\frac{1-(1-1)^{m+1}}{m+1}$ y así sucesivamente

Answer 2

Usted puede utilizar siempre Petkovsek del algoritmo. Sólo se requiere algo de álgebra para demostrar este y otros problemas similares.

Usted puede leer sobre esto en el libro de $A=B$ (disponible gratuitamente en internet).

Otra cosa es que la derivación de polinomios es totalmente una operación algebraica.

Siempre se puede escribir en lugar de $(P(x))'|_{x=1}$ escritura $[P(x+1)-P(1)]/x|_{x=0}$, tal vez lo que es equivalente, de reescritura en potencias de $(x-1)$, lo que implica afirmar la división por $(x-1)$. [Yo solo presiona Alt+F7 para intentar compilar el Látex] Y poco a poco ocultar el cálculo de la prueba la tienes.