Ayuda para resolver el problema de la identidad de los trigones

Question

Hace 20 años que no hago trigonometría, y esta parece un poco difícil. ¿Cómo resolvería $$ \tan ^2(x) -2 \tan (x)=1 $$ con pasos?

Answer 1

$$\tan ^{ 2 }{ x-2\tan { x } -1=0 } \\ \tan ^{ 2 }{ x-2\tan { x } +1-2=0 } \\ { \left( \tan { x } -1 \right) }^{ 2 }-2=0\\ \tan { x-1=\pm \sqrt { 2 } } \\ \tan { x } =1\pm \sqrt { 2 } \\ x=\arctan { \left( 1\pm \sqrt { 2 } \right) +\pi n } \\ $$

Answer 2

dejar $B = \tan(x)$

$\tan(x)$ varía con $x$ , pero en última instancia es sólo un valor

ahora reescribiendo la ecuación para dar $B^2 -2B -1 = 0$ Esto no se factoriza con los enteros, pero se resuelve para dar $x = 1$ raíz cuadrada más o menos $2$

a partir de ahí, utilizamos el $\arctan$ y te dice que (en radianes) x = $\arctan(1 + \sqrt2)$ o $\arctan(1 - \sqrt2$ ) que le dará dos raíces cada $2\pi$ radianes, por lo que hay que restringir el rango de la función para obtener alguna respuesta real

Answer 3

Poner $\tan x = z$

Entonces la ecuación se convierte en,

$z^2 - 2z = 1$

$z^2 - 2z - 1 = 0$

Espero que ahora puedas factorizar.