Convergencia de series poco comunes

Question

Mientras trabajaba en mi física tesis de licenciatura, encontré la siguiente serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \prod_{m=0}^n \frac{x^m}{1-x^{(m+1)}} $$

Para $|x|<1 $ esta suma converge. Pero no sé cómo obtener la expresión analítica de este resultado.

Ya lo he intentado en un lugar poco sofisticada forma de calcular la suma de los diferentes valores de x entre 0 y 1 y el ajuste a una función. He obtenido los mejores resultados con la función de $f(x)=\frac{a \cdot x}{b + c \cdot x}$, pero todavía hay una diferencia significativa. Así es como se ve: [eliminado ya que era el mal sum]

¿Alguien sabe el resultado de esta suma? O cómo conseguirlo?

EDIT: he utilizado la señal equivocada en el denominador. debería ser$ \frac{x^n}{1-x^{(n+1)}}$, al igual que lo es ahora.

EDIT2: ahora tengo la suficiente reputación para publicar imágenes, gracias :)

EDIT3: resultó subestimé mi problema. Tiene en realidad la forma de $$\sum_{n=1}^{\infty} \prod_{m=0}^n \frac{x^m}{1-x^{(m+1)}}$$ Ni siquiera sé, si esto se puede expresar en funciones elementales ... creo que voy a intentar aproximar numéricamente. Pero si alguien encuentra una solución, todavía estaría feliz de usar :)

Answer 1

Este una serie de $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ con entero positivo coeficientes de $(a_n)_{n\geqslant0}$ y el radio de convergencia $1$.

Fácil límite superior es $a_n\leqslant2^n$ por cada $n\geqslant0$. Cuando $n\to\infty$, $a_n\to\infty$. El primer $11$ coeficientes son $a_0=1$, $2$, $2$, $4$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $16$, y $a_{10}=20$.

Esta es la secuencia de A087135, lo $a_n$ es el número de particiones de $n+1$ donde todas las partes, excepto, posiblemente, los dos más pequeños son distintos.

"Desafortunadamente, no [no parece ser conocidos] simple expresión analítica de esta función".

Answer 2

Esta es una respuesta a la primera versión de la pregunta.

Desafortunadamente, no hay una simple expresión analítica de esta función. Por otro lado, está relacionado con el bien saben funciones.Por ejemplo $$ F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{1-x^{n+1}} = \frac{L(x)}{x} - \frac{1}{1-x}, $$ donde $L(x)$ es la Serie de Lambert $$ L(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{1-x^n}. $$ También se puede expresar con la $x$-Polygamma función: $$ F(x) = \frac{\psi_x(1)}{x\ln x} + \frac{\ln(1-x)}{x\ln x} - \frac{1}{1-x}. $$