Demostrar que $ \sum_{k=1}^\infty {\ln(k) \over k^2} \le{2+3\ln2 \over 4} $

Question

Demostrar que

$$ \sum_{k=1}^\infty{\ln(k) \over k^2} \le{2+3\ln2 \over 4} $$

Comience con

$$ \sum_{k=1}^n {\ln(k) \over k^2} \le \int_1^n {\ln(x) \over x^2}\,dx + f(1) $$

donde

$$ f(x) = {\ln(x) \over x^2} $$

Así, si integramos obtenemos que

$$ \int_1^\infty {\ln(x) \over x^2}\,dx + f(1) = 1 $$

Ahora, suponiendo que todo lo que hice anteriormente es correcto, ¿cómo puedo demostrar que

$$ 1 \le{2+3\ln2 \over 4} $$

sin ayuda de una calculadora?

Answer 1

Creo que el problema de tu solución es que comparas la suma con la integral en un intervalo donde la función $\frac{\ln x}{x^2}$ no disminuye. De hecho, la función es decreciente a partir de 2 (¡demuéstralo!).

Además, la suma es cero cuando se inserta $k=1$ por lo que su suma es igual a $\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{\ln k}{k^2}$ .

Por lo tanto, lo que se obtiene, utilizando el mismo método del que escribe, es $$ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\ln k}{k^2}=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{\ln k}{k^2}\leq \int_{2}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\, dx+\frac{\ln 2}{2^2}. $$

Answer 2

Se puede obtener un límite alternativo a partir de: $$\forall n\geq 2,\quad \log(n) \leq H_n-\gamma-\frac{1}{2n+1},\tag{1}$$ que conduce a: $$ \sum_{k=2}^{+\infty}\frac{\log k}{k^2}\leq \frac{10}{3}+\gamma-\zeta(2)-\gamma\zeta(2)-4\log 2+2\zeta(3) < 1.\tag{2} $$ Desde $e^2<8$ , $\frac{2+3\log 2}{4}>1$ Así que hemos terminado.