Deje $V$ ser un complejo espacio vectorial con producto interior $\langle-,-\rangle_{\mathbb{C}}$. Desde $\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{C}$ también podemos interpretar $V$ como un verdadero espacio vectorial, pero con lo real del producto interior? Podemos tomar una base ortonormales $\mathcal{B}$ $V$ como un complejo espacio vectorial y, a continuación, utilizar $\mathcal{B}\sqcup i\mathcal{B}$ como base para $V$ como un verdadero espacio vectorial para darle un verdadero producto interior. El resultado, de hecho, no depende de la base $\mathcal{B}$, ya que el nuevo real producto interior en el hecho de ser $\langle u,v\rangle_{\mathbb{R}}=\mathrm{Re}\langle u,v\rangle_{\mathbb{C}}$. Tenga en cuenta que tomando la parte real, en realidad no se pierde información - podemos recuperar $\langle -,-\rangle_{\mathbb{C}}$ $\langle -,-\rangle_{\mathbb{R}}$ escrito $\langle u,v\rangle_{\mathbb{C}}=\alpha+\beta i$, notándose $\langle iu,v\rangle_{\mathbb{C}}=-\beta+i\alpha$ y concluyendo $\langle u,v\rangle_{\mathbb{C}}=\langle u,v\rangle_{\mathbb{R}}-i\langle iu,v\rangle_{\mathbb{R}}$.
Observe también que la multiplicación por$i$ $V$ será skew-Hermitian con respecto a la verdadera interior de la estructura del producto, es decir,$\langle iu,v\rangle_{\mathbb{R}}=-\langle u,iv\rangle_{\mathbb{R}}$. Geométricamente esto debe venir como ninguna sorpresa - cualquier base compleja $\mathcal{B}$ nos permite descomponer $V$ en un montón de complejas dimensiones de los subespacios, que a su vez significa que se puede descomponer $V$ en un montón de real de dos dimensiones de los subespacios, y claramente la multiplicación por$i$ actúa como un derecho-ángulo de rotación en cada plano.
Por el contrario, dada real del producto interior espacio de $V$, con un sesgo de simetría isometría $X$, que puede dar vuelta a $V$ en un complejo producto interior espacio por el tratamiento de la $X$ como la multiplicación por$i$. Así, explícitamente, que significa que definen $(a+bi)v:=av+bX(v)$. El grupo de $\mathbb{C}$-transformaciones lineales $\mathrm{GL}_{\mathbb{C}}(V)$ será un subgrupo de la $\mathbb{R}$-lineales, $\mathrm{GL}_{\mathbb{R}}(V)$. De hecho, $\mathrm{GL}_{\mathbb{C}}(V)$, casi por definición, el centralizador de $X$ dentro $\mathrm{GL}_{\mathbb{R}}(V)$, ya que el ser $\mathbb{R}$-lineal y los desplazamientos con la multiplicación por$i$ ( $X$ ) es equivalente a ser $\mathbb{C}$-lineal.
(1)
El grupo de $\mathbb{C}$-transformaciones lineales que preservan el complejo interior del producto, $\mathrm{U}(V)$, será, precisamente, el centralizador de $X$ dentro $\mathrm{O}(V)$ (el grupo de transformaciones que preservan la real producto interior). Para ver por qué se $\mathrm{U}(V)= C_{\mathrm{O}(V)}(X)$, probar que las siguientes son equivalentes:
- $g$ $\mathbb{C}$- lineal y preserva $\langle-,-\rangle_{\mathbb{C}}$
- $g$ $\mathbb{R}$- lineal, conmuta con $X$, y preserva $\langle-,-\rangle_{\mathbb{R}}$
Concretamente, con el consentimiento explícito de las matrices, si tenemos las coordenadas espacio vectorial $\mathbb{R}^{2n}$ equipada con el producto escalar, y $X$ es el derecho de ángulo de rotación de la subespacio $\mathbb{R}^n\oplus0$ a convertirse $0\oplus\mathbb{R}^n$ (dada explícitamente por $X(u,v)=(-v,u)$ bajo la identificación de $\mathbb{R}^{2n}=\mathbb{R}^n\oplus\mathbb{R}^n$), luego tenemos un uno-a-uno homomorphism entre la matriz de los grupos de $\mathrm{U}(n)\to\mathrm{O}(2n)$ dado por Dietrich en su respuesta.
(2)
Es cierto que un elemento de $\mathrm{U}(n)$ puede tener complejo determinante $-1$, mientras que todos los elementos de a $\mathrm{SO}(2n)$ han determinante $+1$, pero el mapa de $\mathrm{U}(n)\to\mathrm{SO}(2n)$ es no determinante de conservar. Echemos un vistazo en el caso más simple de $\mathbb{C} \,``=" \mathbb{R}^2$: multiplicación por $-1$ $\mathbb{C}$ ha complejo determinante $-1$ (desde $\det[z]=z$ $1\times1$ matrices $[z]$), pero en $\mathbb{R}^2$ es una media vuelta (es decir, $180^{\circ}$ rotación) que está representado por la matriz de $-I_2$, y ha determinante $(-1)(-1)=+1$.
De hecho, la relación entre los dos factores determinantes de la es $\det_{\mathbb{R}}(g)=|\det_{\mathbb{C}}(g)|^2$, y como todos los $g\in\mathrm{U}(n)$ ha complejo determinante del módulo de $1$, los elementos correspondientes de a $\mathrm{O}(2n)$ han determinante $1$, por lo que se en $\mathrm{SO}(2n)$. Como alternativa, debido a $U(n)$ está conectado y $U(n)\to\mathrm{O}(2n)$ es continua, la imagen debe estar conectado, lo que significa que debe estar en el componente conectado, que es $\mathrm{SO}(2n)$.
(3)
Esta es una que no estoy seguro de que hay una respuesta satisfactoria para, a falta de poder de forma nativa, visualizar directamente las cuatro dimensiones con mejor que el cerebro humano. Sin embargo, me puede dar sentido geométrico a las transformaciones y explicar una versión actualizada.
Cualquier rotación de $\mathbb{R}^m$ va a ser un montón de 2D rotaciones en el orientado, pares de planos ortogonales (2D subespacios). Yo mentalmente la imagen como un conjunto de esferas que se puede activar de forma independiente.
El conjunto de planos, de hecho, un invariante asociado con la rotación ... excepto por un conjunto de rotaciones de medida cero. De hecho, el conjunto de planos es un invariante de la rotación si y sólo si todos los ángulos de rotación son distintos a la orientación. En el extremo opuesto de la mentira isoclinic rotaciones, que es donde todos los ángulos de rotación son los mismos.
En el caso de $\mathbb{R}^4$, isoclinic rotaciones son un par de rotaciones en un par de aviones, lo que uno puede pensar como un "twist" (como un Indio alfombra de grabación o púrpura nurple de su infancia). Vienen en dos tipos, dependiendo de si la orientación de los dos aviones "agregar" para la orientación de toda la 4D espacio o su opuesto, la llamada a la izquierda y a la derecha isoclinic rotaciones, respectivamente. La multiplicación por$i$ es sólo uno específico isoclinic de rotación, y todos los otros elementos de la $\mathrm{SU}(2)$ son todos los isoclinic rotaciones de otro tipo.
Cuaterniones son útiles para esto. Son un no conmutativa 4D sistema de número de $\mathbb{H}$ cuyos elementos pueden ser considerados como fingir-sumas de real escalares y vectores 3D en $\mathrm{span}\{i,j,k\}$. Las coordenadas de los vectores (en cualquier ordenó ortonormales base con la orientación correcta) son anticommuting (por ejemplo,$ij=-ji$) y la plaza de a $-1$ (por ejemplo,$i^2=-1$). Tienen una norma que viene desde el uso de $1,i,j,k$ como base, y esta norma es multiplicativo. La unidad de cuaterniones formar una $1\times1$ matriz de grupo $\mathrm{Sp}(1)$.
A la izquierda y a la derecha de la multiplicación por la unidad de cuaterniones no cambia la norma, por lo que induce un mapa de $\mathrm{Sp}(1)\times\mathrm{Sp}(1)\to\mathrm{SO}(4)$. Este es de hecho un doble cubriendo con el kernel $(-1,-1)$. La izquierda factor, correspondiente a la izquierda de la multiplicación por la unidad de cuaterniones, corresponde a la izquierda isoclinic rotaciones, y el derecho del factor a derecha isoclinic rotaciones. Desde $\mathbb{H}$ es asociativa, a la izquierda y a la derecha multiplicaciones viaje, así que todos a la izquierda y a la derecha isoclinic rotaciones de viaje.
Si interpretamos $\mathbb{C}\subset\mathbb{H}$ y multiplicar $\mathbb{H}$ por el complejo de escalares en el derecho (así, un derecho complejo espacio vectorial), podemos identificar a $\mathbb{H}\cong\mathbb{C}^2$, y en este caso el $\mathbb{C}$-lineal rotaciones $\mathrm{Sp}(1)\times\mathrm{U}(1)\subset\mathrm{Sp}(1)\times\mathrm{Sp}(1)$. Así, el hecho de que todos isoclinic rotaciones conmuta con todos los derechos isoclinic de rotaciones es una versión mejorada (desde $\mathrm{U}(1)$ es un subconjunto de a $\mathrm{Sp}(1)$).
Esto es único en 4D: todos los de la izquierda (a la derecha) isoclinic rotaciones de formar un grupo en la composición, y conmuta con todos (a la derecha) a la izquierda isoclinic rotaciones. Esto no sucede en las dimensiones superiores. (No hay distinción entre izquierda/derecha en dimensiones impares de todos modos.)
