¿Por qué no inducción se extienden hasta el infinito? (re: series de Fourier)

Question

Mientras que la lectura de algunas de las cosas acerca de las funciones analíticas anteriores de esta noche vino a mi atención que la serie de Fourier no son necesariamente analítica. Yo solía pensar que uno podría demostrar que ellos son el uso de la inducción analítica

1. Deje $P(n)$ ser una declaración parametrizadas por el número natural $n$ (en este caso: el $n$ésima suma parcial de la serie de Fourier es analítica)
2. Mostrar que $P(0)$ es cierto
3. Mostrar que $P(n-1)\Rightarrow P(n)$
4. (Inválidas) conclusión: $P(n)$ sigue siendo cierto, como nos tomamos el límite de $n\to\infty$^*

Qué es exactamente la conclusión no es válida aquí? Parece muy extraño que aunque $P(n)$ es cierto para cualquier finito $n$, deja de ser válida cuando me quite la explícita límite superior en $n$. Hay circunstancias en las que me puede hacer un argumento de este formulario?

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Ejemplo de prueba no válida: Definir la serie de Fourier truncada $F_n(x)$ como la suma parcial

$$F_n(x) = \sum_{k=0}^{n} A_k\sin\biggl(\frac{kx}{T}\biggr) + B_k\cos\biggl(\frac{kx}{T}\biggr)$$

donde $A_k$ $B_k$ son los coeficientes de Fourier de algunas funciones arbitrarios $f$. El uso de los hechos de que $\sin(t)$ $\cos(t)$ son analíticos, y que cualquier combinación lineal de funciones analíticas es analítica:

1. $P(n)$ es la declaración "$F_n(x)$ es analítica"
2. $F_0(x)$ es claramente analítica porque es una combinación lineal de funciones seno y coseno

3. $F_n(x)$ puede ser escrito como la combinación lineal

   $$F_{n}(x) = F_{n-1}(x) + A_n\sin\biggl(\frac{nx}{T}\biggr) + B_n\cos\biggl(\frac{nx}{T}\biggr)$$

   Así que si $F_{n-1}(x)$ es analítica, $F_n(x)$ es analítica.

4. $F(x) \equiv \lim_{n\to\infty} F_n(x)$ es analítica. Pero $F(x)$ es la serie de Fourier para $f$; por lo tanto, la serie de Fourier para $f$ es analítica.

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^*Estoy asumiendo que $P(n)$ es una declaración acerca de alguna secuencia que es parametrizadas por $n$, y para el cual tomando el límite cuando $n\to\infty$ es significativo

Answer 1

Un caso trivial donde $P(n)$ es cierto para todos los $n\in\mathbf N$ pero $P(\infty)$ es falso, es la declaración de "$n$ es finito".

Answer 2

Aquí está una cita de B. Russell Introducción a la matemática filosofía, páginas 27 y 28, que creo que describe bien esta limitación de la inducción:

La inducción matemática ofrece, más que cualquier otra cosa, la característica esencial por la que lo finito se distingue de lo infinito. El principio de inducción matemática puede decirse popularmente en algunos tales como "lo que se puede inferir a partir de la próxima, a la siguiente se puede deducir de la primera a la última." Esto es cierto cuando el número de pasos intermedios entre el primer y el último es finito, de lo contrario no. Cualquiera que haya visto un tren de mercancías empezando a moverse, le han dado cuenta de cómo el impulso se comunica con un tirón de cada camión a la siguiente, hasta el último, incluso el último camión está en movimiento. Cuando el tren es muy largo, es un tiempo muy largo antes de que el último carro se mueve. Si el tren eran infinitamente larga, habrá una sucesión infinita de idiotas, y el tiempo no iba a llegar cuando todo el tren iba a estar en movimiento. Sin embargo, si hubo una serie de camiones no más que la serie de inductivo números..., todos los camiones empiezan a mover más pronto o más tarde si el motor perseverado, aunque siempre hay otros camiones de más atrás, que todavía no había empezado a moverse.

Hay contextos en los que una declaración de $P(n)$ puede ser probada por todos los $n\in\mathbb N$ por inducción, y tiene una contraparte $P(\infty)$ que es falso. En otros contextos, $P(\infty)$ puede ser cierto. Pero incluso entonces, la inducción en $\mathbb N$ no prueba la $P(\infty)$ de los casos.

Volviendo a los límites de las funciones, tenga en cuenta por ejemplo que:

• De un número finito de suma de funciones continuas es continua.

• Un pointwise convergente serie de funciones continuas no necesita ser continua.

• Pero, uniformemente convergente serie de funciones continuas es continua.

Así que en este caso, va desde finito de sumas de series infinitas requiere de nuevas herramientas, diferentes tipos de convergencia, para obtener las propiedades deseadas. Como para el real, funciones analíticas, no sé qué puede ser dicho a lo largo de estas líneas. Para el complejo de funciones analíticas que hay más bonito de los resultados, tales como el hecho de que un localmente uniformemente convergente de la secuencia de las complejas funciones analíticas es complejo analítica. En el caso real, para dar un fuerte contraste, cada función continua en un intervalo acotado es un límite uniforme de polinomios (como analítica como usted puede conseguir), pero existen funciones continuas que son diferenciables en ningún lugar. Del mismo modo, continuamente una función derivable de plazo, $2\pi$ es el límite uniforme de su serie de Fourier, pero continuamente diferenciable las funciones no necesitan ser incluso dos veces diferenciable, no hablemos de analítica.

Answer 3

Un ejemplo donde "$P(n)$ todos los $n$" no implica $P(\infty)$, no desde el ámbito de análisis:

Deje $P(n)$ "el conjunto de $\cup_{k=1}^n [\frac1k, 1]$ está cerrada." Claramente es verdadera para todo entero positivo $n$, ya que la unión es $[\frac1n,1]$.

Pero $\cup_{k=1}^\infty [\frac1k, 1] = (0, 1]$ no está cerrado, por lo $P(\infty)$ es falso.

Answer 4

Con todos estos ejemplos de lo contrario, tal vez sería importante mencionar que no es una versión de la inducción de la cual "se extiende hasta el infinito". Se llama inducción Transfinita.

Inducción transfinita puede ser usada para probar algunas cosas bastante sorprendentes: por ejemplo, puede ser utilizado para demostrar que existe un subconjunto de a $\mathbf R^2$ que cruza todas las líneas en exactamente 2 puntos. O que $\mathbf R^3-\{0\}$ se puede dividir en líneas discontinuas.

Answer 5

Tengo un ejemplo en el ámbito de la geometría. Considere la siguiente secuencia de triángulos. Tomar cualquier triángulo y encontrar puntos medios de dos de sus lados y únelos. Se forma un pequeño triángulo. De esta manera usted obtiene una secuencia infinita de los triángulos de la disminución de los tamaños.

Sin embargo, el límite de la secuencia de un solo punto - no es un triángulo. Así que para cualquier finito $n$, $A_n$ es un triángulo, pero el límite de $A_n$ $n$ crece no es.